Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} x & - 1 & - 4 \\ x & 5 & x \\ 9 & 0 & x^{2} \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$x | \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{21}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{21}$ por su cofactor.

$- x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{31}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{31}$ por su cofactor.

$9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$x | \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} | - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & x \\ 0 & x^{2} \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x^{2} + 0 x) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Multiplica $0$ por $x$ .

$x (5 x^{2} + 0) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 2.2.2

Suma $5 x^{2}$ y $0$ .

$x (5 x^{2}) - x | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 0 & x^{2} \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2} + 0 \cdot - 4) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Multiplica $0$ por $- 4$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2} + 0) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 3.2.2

Suma $- x^{2}$ y $0$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 | \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 1 & - 4 \\ 5 & x \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 (- x - 5 \cdot - 4)$

Paso 4.2

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$x (5 x^{2}) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x \cdot x^{2} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 (x^{2} x) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 (x^{2} x^{1}) - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2 + 1} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$5 x^{3} - x (- x^{2}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.4

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1

Mueve $x^{2}$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.4.3

Suma $2$ y $1$ .

$5 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{3} + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$5 x^{3} + 1 x^{3} + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.6

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$5 x^{3} + x^{3} + 9 (- x + 20)$

Paso 5.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{3} + x^{3} + 9 (- x) + 9 \cdot 20$

Paso 5.1.8

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$5 x^{3} + x^{3} - 9 x + 9 \cdot 20$

Paso 5.1.9

Multiplica $9$ por $20$ .

$5 x^{3} + x^{3} - 9 x + 180$

Paso 5.2

Suma $5 x^{3}$ y $x^{3}$ .

$6 x^{3} - 9 x + 180$