Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} 0 & x & x \\ x & x^{2} & 5 \\ x & 4 & - 3 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$0 | \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} x^{2} & 5 \\ 4 & - 3 \end{array} |$ .

$0 - x | \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} x & 5 \\ x & - 3 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - x (x \cdot - 3 - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$0 - x (- 3 \cdot x - x \cdot 5) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$0 - x (- 3 x - 5 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta $5 x$ de $- 3 x$ .

$0 - x (- 8 x) + x | \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} x & x^{2} \\ x & 4 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 - x (- 8 x) + x (x \cdot 4 - x \cdot x^{2})$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 \cdot x - x \cdot x^{2})$

Paso 4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x))$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 4.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - (x^{2} x^{1}))$

Paso 4.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{2 + 1})$

Paso 4.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$0 - x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Resta $x (- 8 x)$ de $0$ .

$- x (- 8 x) + x (4 x - x^{3})$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 1 \cdot - 8 x \cdot x + x (4 x - x^{3})$

Paso 5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $x$ .

$- 1 \cdot - 8 (x \cdot x) + x (4 x - x^{3})$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- 1 \cdot - 8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$8 x^{2} + x (4 x - x^{3})$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + x (4 x) + x (- x^{3})$

Paso 5.2.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x + x (- x^{3})$

Paso 5.2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{2} + 4 x \cdot x - x \cdot x^{3}$

Paso 5.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.7.1.1

Mueve $x$ .

$8 x^{2} + 4 (x \cdot x) - x \cdot x^{3}$

Paso 5.2.7.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x \cdot x^{3}$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.7.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x)$

Paso 5.2.7.2.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 5.2.7.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - (x^{3} x^{1})$

Paso 5.2.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{3 + 1}$

Paso 5.2.7.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$8 x^{2} + 4 x^{2} - x^{4}$

Paso 5.3

Suma $8 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - x^{4}$