Álgebra Ejemplos

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Paso 1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 1) (a^{2} + a + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ por $\frac{a - 1}{a - 1}$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ .

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a^{2} - 5 - (a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1 \cdot 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.3

Expande $(- a - 1) (a - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 - a (a - 1) - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1.1

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.1.1.1

Mueve $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - (a \cdot a) - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.1.1.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.1.2

Multiplica $- a \cdot - 1$ .

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Paso 5.4.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1 a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.1.2.2

Multiplica $a$ por $1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.1.3

Reescribe $- 1 a$ como $- a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.2

Resta $a$ de $a$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 0 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.4.3

Suma $- a^{2}$ y $0$ .

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.5

Resta $a^{2}$ de $a^{2}$ .

$\frac{0 - 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.6

Resta $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 5.7

Suma $- 5$ y $1$ .

$\frac{- 4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$