Álgebra Ejemplos

$(- 1, 1)$ , $(1, 5)$ , $(2, 10)$

Paso 1

Usa la ecuación ordinaria de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c$ como el punto inicial para obtener la ecuación a través de los tres puntos.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 2

Crea un sistema de ecuaciones mediante la sustitución de los valores $x$ y $y$ de cada punto en la fórmula estándar de una ecuación cuadrática para crear el sistema de tres ecuaciones.

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 5 = a {(1)}^{2} + b (1) + c, 10 = a {(2)}^{2} + b (2) + c$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Resuelve $a$ en $5 = a + b + c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $a + b + c = 5$ .

$a + b + c = 5$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a + c = 5 - b$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.1.2.2

Resta $c$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 5 - b - c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 5 - b - c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$a = 5 - b - c$

$1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $a$ por $5 - b - c$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $1 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ por $5 - b - c$ .

$1 = (5 - b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Simplifica $(5 - b - c) {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$1 = (5 - b - c) \cdot 1 + b (- 1) + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $5 - b - c$ por $1$ .

$1 = 5 - b - c + b (- 1) + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2.1.1.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $b$ .

$1 = 5 - b - c - 1 b + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2.1.1.4

Reescribe $- 1 b$ como $- b$ .

$1 = 5 - b - c - b + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - b - c - b + c$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.2.1

Combina los términos opuestos en $5 - b - c - b + c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.2.1.1

Suma $- c$ y $c$ .

$1 = 5 - b - b + 0$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2.1.2.1.2

Suma $5 - b - b$ y $0$ .

$1 = 5 - b - b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - b - b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.2.1.2.2

Resta $b$ de $- b$ .

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $a$ en $10 = a \cdot 2^{2} + b (2) + c$ por $5 - b - c$ .

$10 = (5 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Simplifica $(5 - b - c) \cdot 2^{2} + b (2) + c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$10 = (5 - b - c) \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$10 = 5 \cdot 4 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1.1.3.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$10 = 20 - b \cdot 4 - c \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.1.3.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$10 = 20 - 4 b - c \cdot 4 + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.1.3.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$10 = 20 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 4 b - 4 c + b (2) + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$10 = 20 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 4 b - 4 c + 2 b + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1.2.1

Suma $- 4 b$ y $2 b$ .

$10 = 20 - 2 b - 4 c + c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.2.4.1.2.2

Suma $- 4 c$ y $c$ .

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$1 = 5 - 2 b$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3

Resuelve $b$ en $1 = 5 - 2 b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $5 - 2 b = 1$ .

$5 - 2 b = 1$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 b = 1 - 5$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3.2.2

Resta $5$ de $1$ .

$- 2 b = - 4$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$- 2 b = - 4$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 2 b = - 4$ por $- 2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 2 b = - 4$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = \frac{- 4}{- 2}$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.3.1

Divide $- 4$ por $- 2$ .

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

$b = 2$

$10 = 20 - 2 b - 3 c$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $b$ por $2$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $10 = 20 - 2 b - 3 c$ por $2$ .

$10 = 20 - 2 \cdot 2 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica $20 - 2 \cdot 2 - 3 c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$10 = 20 - 4 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.4.2.1.2

Resta $4$ de $20$ .

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 5 - b - c$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = 5 - b - c$ por $2$ .

$a = 5 - (2) - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

Paso 3.4.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1

Simplifica $5 - (2) - c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.4.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a = 5 - 2 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

Paso 3.4.4.1.2

Resta $2$ de $5$ .

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

$a = 3 - c$

$10 = 16 - 3 c$

$b = 2$

Paso 3.5

Resuelve $c$ en $10 = 16 - 3 c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $16 - 3 c = 10$ .

$16 - 3 c = 10$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 c = 10 - 16$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.5.2.2

Resta $16$ de $10$ .

$- 3 c = - 6$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$- 3 c = - 6$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $- 3 c = - 6$ por $- 3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $- 3 c = - 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 c}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = \frac{- 6}{- 3}$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1

Divide $- 6$ por $- 3$ .

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

$c = 2$

$a = 3 - c$

$b = 2$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $c$ por $2$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $a = 3 - c$ por $2$ .

$a = 3 - (2)$

$c = 2$

$b = 2$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1

Simplifica $3 - (2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a = 3 - 2$

$c = 2$

$b = 2$

Paso 3.6.2.1.2

Resta $2$ de $3$ .

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

$a = 1$

$c = 2$

$b = 2$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$a = 1, c = 2, b = 2$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula para una ecuación cuadrática a fin de obtener la ecuación resultante.

$y = x^{2} + 2 x + 2$

Paso 5