Álgebra Ejemplos

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y + 1376 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $1376$ de ambos lados de la ecuación.

$36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $36 x^{2} - 288 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 36$

$b = - 288$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 288}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 288$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 288$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 (36)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 144}{2 \cdot 36}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 144}{36}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 144$ y $36$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $36$ de $- 144$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{36 \cdot - 4}{36 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 288)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 288$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{82944}{4 \cdot 36}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{82944}{144}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $82944$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 576$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $576$ .

$e = 0 - 576$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $576$ de $0$ .

$e = - 576$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576$

Paso 1.3

Sustituye $36 {(x - 4)}^{2} - 576$ por $36 x^{2} - 288 x$ en la ecuación $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 576 - 25 y^{2} - 100 y = - 1376$

Paso 1.4

Mueve $- 576$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $576$ a ambos lados.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 y^{2} - 100 y = - 1376 + 576$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- 25 y^{2} - 100 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 100$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (- 25)}$

Paso 1.5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot - 25}$

Paso 1.5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 50}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $- 50$ y $- 25$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 50$ .

$d = \frac{- 25 (2)}{- 25}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.2.2.2.1

Factoriza $- 25$ de $- 25$ .

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{- 25 \cdot 2}{- 25 \cdot 1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 1.5.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 100$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $10000$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $100$ .

$e = 100$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$

Paso 1.6

Sustituye $- 25 {(y + 2)}^{2} + 100$ por $- 25 y^{2} - 100 y$ en la ecuación $36 x^{2} - 25 y^{2} - 288 x - 100 y = - 1376$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} + 100 = - 1376 + 576$

Paso 1.7

Mueve $100$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $100$ a ambos lados.

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 1376 + 576 - 100$

Paso 1.8

Simplifica $- 1376 + 576 - 100$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 1376$ y $576$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 800 - 100$

Paso 1.8.2

Resta $100$ de $- 800$ .

$36 {(x - 4)}^{2} - 25 {(y + 2)}^{2} = - 900$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 36 {(x - 4)}^{2} + 25 {(y + 2)}^{2} = 900$

Paso 1.10

Divide cada término por $900$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{36 {(x - 4)}^{2}}{900} + \frac{25 {(y + 2)}^{2}}{900} = \frac{900}{900}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{25} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 6$

$b = 5$

$k = - 2$

$h = 4$

Paso 4

El centro de una hipérbola sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(4, - 2)$

Paso 5