Álgebra Ejemplos

$2 x + 3 z = 15 + 4 y$ , $4 x + 5 y = - 5 z + 10$ , $- 3 x - y - 4 z = - 12$

Paso 1

Elije dos ecuaciones y elimina una variable. En este caso, elimina $x$ .

$2 x + 3 z = 15 + 4 y$

$4 x + 5 y = - 5 z + 10$

Paso 2

Elimina $x$ del sistema.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1.1

Reordena $15$ y $4 y$ .

$2 x + 3 z = 4 y + 15$

$4 x + 5 y = - 5 z + 10$

$2 x + 3 z = 4 y + 15$

$4 x + 5 y = - 5 z + 10$

Paso 2.2

Move all terms containing variables to the left.

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Paso 2.2.1

Resta $4 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x + 3 z - 4 y = 15, 4 x + 5 y = - 5 z + 10$

Paso 2.2.2

Suma $5 z$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x + 3 z - 4 y = 15, 4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.3

Mueve $3 z$ .

$2 x - 4 y + 3 z = 15$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.4

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $x$ sean opuestos.

$(- 2) \cdot (2 x - 4 y + 3 z) = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1

Simplifica $(- 2) \cdot (2 x - 4 y + 3 z)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (2 x) - 2 (- 4 y) - 2 (3 z) = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.5.1.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1.1.2.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 x - 2 (- 4 y) - 2 (3 z) = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.5.1.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$- 4 x + 8 y - 2 (3 z) = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.5.1.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 4 x + 8 y - 6 z = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

$- 4 x + 8 y - 6 z = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

$- 4 x + 8 y - 6 z = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

$- 4 x + 8 y - 6 z = (- 2) (15)$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1

Multiplica $- 2$ por $15$ .

$- 4 x + 8 y - 6 z = - 30$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

$- 4 x + 8 y - 6 z = - 30$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

$- 4 x + 8 y - 6 z = - 30$

$4 x + 5 y + 5 z = 10$

Paso 2.6

Suma las dos ecuaciones para eliminar $x$ del sistema.

	$-$	$4$	$x$	$+$	$8$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$3$	$0$
$+$		$4$	$x$	$+$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
				$1$	$3$	$y$		$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$

Paso 2.7

La ecuación resultante elimina $x$ .

$13 y - z = - 20$

Paso 3

Elije otras dos ecuaciones y elimina $x$ .

$4 x + 5 y = - 5 z + 10$

$- 3 x - y - 4 z = - 12$

Paso 4

Elimina $x$ del sistema.

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Paso 4.1

Suma $5 z$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x + 5 y + 5 z = 10, - 3 x - y - 4 z = - 12$

Paso 4.2

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $x$ sean opuestos.

$(3) \cdot (4 x + 5 y + 5 z) = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Simplifica $(3) \cdot (4 x + 5 y + 5 z)$ .

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Paso 4.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (4 x) + 3 (5 y) + 3 (5 z) = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.1.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1.2.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$12 x + 3 (5 y) + 3 (5 z) = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.1.1.2.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$12 x + 15 y + 3 (5 z) = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.1.1.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$12 x + 15 y + 15 z = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = (3) (10)$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Multiplica $3$ por $10$ .

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1

Simplifica $(4) \cdot (- 3 x - y - 4 z)$ .

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Paso 4.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$4 (- 3 x) + 4 (- y) + 4 (- 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.3.1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.3.1.2.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x + 4 (- y) + 4 (- 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.3.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y + 4 (- 4 z) = (4) (- 12)$

Paso 4.3.3.1.2.3

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = (4) (- 12)$

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = (4) (- 12)$

Paso 4.3.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.1

Multiplica $4$ por $- 12$ .

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = - 48$

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = - 48$

$12 x + 15 y + 15 z = 30$

$- 12 x - 4 y - 16 z = - 48$

Paso 4.4

Suma las dos ecuaciones para eliminar $x$ del sistema.

		$1$	$2$	$x$	$+$	$1$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$		$3$	$0$
$+$	$-$	$1$	$2$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
						$1$	$1$	$y$			$-$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

Paso 4.5

La ecuación resultante elimina $x$ .

$11 y - z = - 18$

Paso 5

Resta las ecuaciones resultantes y elimina otra variable. En este caso, elimina $z$ .

$13 y - z = - 20$

$11 y - z = - 18$

Paso 6

Elimina $z$ del sistema.

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Paso 6.1

Multiplica cada ecuación por el valor que hace que los coeficientes de $z$ sean opuestos.

$13 y - z = - 20$

$(- 1) \cdot (11 y - z) = (- 1) (- 18)$

Paso 6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Simplifica $(- 1) \cdot (11 y - z)$ .

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Paso 6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$13 y - z = - 20$

$- 1 (11 y) - 1 (- z) = (- 1) (- 18)$

Paso 6.2.1.1.2

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$13 y - z = - 20$

$- 11 y - 1 (- z) = (- 1) (- 18)$

Paso 6.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- z)$ .

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Paso 6.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + 1 z = (- 1) (- 18)$

Paso 6.2.1.1.3.2

Multiplica $z$ por $1$ .

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = (- 1) (- 18)$

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = (- 1) (- 18)$

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = (- 1) (- 18)$

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = (- 1) (- 18)$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 18$ .

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = 18$

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = 18$

$13 y - z = - 20$

$- 11 y + z = 18$

Paso 6.3

Suma las dos ecuaciones para eliminar $z$ del sistema.

		$1$	$3$	$y$	$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$8$
			$2$	$y$			$=$		$-$	$2$

Paso 6.4

La ecuación resultante elimina $z$ .

$2 y = - 2$

Paso 6.5

Divide cada término en $2 y = - 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.5.1

Divide cada término en $2 y = - 2$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 6.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 2}{2}$

Paso 6.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{2}$

Paso 6.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.5.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$y = - 1$

Paso 7

Sustituye el valor de $y$ en una ecuación de la que ya se eliminó $x$ y resuelve la variable restante.

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Paso 7.1

Sustituye el valor de $y$ en una ecuación de la que ya se eliminó $x$ .

$13 (- 1) - z = - 20$

Paso 7.2

Resuelve $z$

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Paso 7.2.1

Multiplica $13$ por $- 1$ .

$- 13 - z = - 20$

Paso 7.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.2.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$- z = - 20 + 13$

Paso 7.2.2.2

Suma $- 20$ y $13$ .

$- z = - 7$

Paso 7.2.3

Divide cada término en $- z = - 7$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 7.2.3.1

Divide cada término en $- z = - 7$ por $- 1$ .

$\frac{- z}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 7.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{z}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 7.2.3.2.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 7.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.3.1

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$z = 7$

Paso 8

Sustituye el valor de cada variable conocida en una de las ecuaciones iniciales y resuelve la última variable.

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Paso 8.1

Sustituye el valor de cada variable conocida en una de las ecuaciones iniciales.

$2 x + 3 (7) = 15 + 4 (- 1)$

Paso 8.2

Resuelve $x$

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Paso 8.2.1

Multiplica $3$ por $7$ .

$2 x + 21 = 15 + 4 (- 1)$

Paso 8.2.2

Simplifica $15 + 4 (- 1)$ .

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Paso 8.2.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$2 x + 21 = 15 - 4$

Paso 8.2.2.2

Resta $4$ de $15$ .

$2 x + 21 = 11$

Paso 8.2.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 8.2.3.1

Resta $21$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = 11 - 21$

Paso 8.2.3.2

Resta $21$ de $11$ .

$2 x = - 10$

Paso 8.2.4

Divide cada término en $2 x = - 10$ por $2$ y simplifica.

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Paso 8.2.4.1

Divide cada término en $2 x = - 10$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Paso 8.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 10}{2}$

Paso 8.2.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{2}$

Paso 8.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.4.3.1

Divide $- 10$ por $2$ .

$x = - 5$

Paso 9

La solución al sistema de ecuaciones puede representarse como un punto.

$(- 5, - 1, 7)$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 5, - 1, 7)$

Forma de la ecuación:

$x = - 5, y = - 1, z = 7$

	$-$	$4$	$x$	$+$	$8$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$3$	$0$
$+$		$4$	$x$	$+$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
				$1$	$3$	$y$		$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$

		$1$	$2$	$x$	$+$	$1$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$		$3$	$0$
$+$	$-$	$1$	$2$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
						$1$	$1$	$y$			$-$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

		$1$	$3$	$y$	$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$8$
			$2$	$y$			$=$		$-$	$2$

	$-$	$4$	$x$	$+$	$8$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$3$	$0$
$+$		$4$	$x$	$+$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
				$1$	$3$	$y$		$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$

		$1$	$2$	$x$	$+$	$1$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$		$3$	$0$
$+$	$-$	$1$	$2$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
						$1$	$1$	$y$			$-$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

		$1$	$3$	$y$	$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$8$
			$2$	$y$			$=$		$-$	$2$

	$-$	$4$	$x$	$+$	$8$	$y$	$-$	$6$	$z$	$=$	$-$	$3$	$0$
$+$		$4$	$x$	$+$	$5$	$y$	$+$	$5$	$z$	$=$		$1$	$0$
				$1$	$3$	$y$		$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$

		$1$	$2$	$x$	$+$	$1$	$5$	$y$	$+$	$1$	$5$	$z$	$=$		$3$	$0$
$+$	$-$	$1$	$2$	$x$		$-$	$4$	$y$	$-$	$1$	$6$	$z$	$=$	$-$	$4$	$8$
						$1$	$1$	$y$			$-$	$z$	$=$	$-$	$1$	$8$

		$1$	$3$	$y$	$-$	$z$	$=$	$-$	$2$	$0$
$+$	$-$	$1$	$1$	$y$	$+$	$z$	$=$		$1$	$8$
			$2$	$y$			$=$		$-$	$2$