Álgebra Ejemplos

$3 x - 2 y + 3 z = 5$ , $3 x + 2 y + 4 z = - 4$ , $- 5 x + 5 y - 4 z = - 2$

Paso 1

Representa el sistema de ecuaciones en el formato de la matriz.

$[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$

Paso 2

Obtén el determinante de la matriz coeficiente $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ .

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Paso 2.1

Escribe $[\begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array}]$ en la notación determinante.

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \\ - 5 & 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 2.2.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 2.2.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 2.2.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 2.2.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.2.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.2.9

Suma los términos juntos.

$3 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$3 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.3.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$3 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.3.2.2

Resta $20$ de $- 8$ .

$3 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Paso 2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.4.2.2

Suma $- 12$ y $20$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 2.5

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 2.5.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Paso 2.5.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot 2)$ .

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Paso 2.5.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 - - 10)$

Paso 2.5.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 (15 + 10)$

Paso 2.5.2.2

Suma $15$ y $10$ .

$3 \cdot - 28 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Paso 2.6

Simplifica el determinante.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Multiplica $3$ por $- 28$ .

$- 84 + 2 \cdot 8 + 3 \cdot 25$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$- 84 + 16 + 3 \cdot 25$

Paso 2.6.1.3

Multiplica $3$ por $25$ .

$- 84 + 16 + 75$

Paso 2.6.2

Suma $- 84$ y $16$ .

$- 68 + 75$

Paso 2.6.3

Suma $- 68$ y $75$ .

$7$

$D = 7$

Paso 3

Como el determinante no es $0$ , se puede resolver el sistema con la regla de Cramer.

Paso 4

Obtén el valor de $x$ con la regla de Cramer, que establece que $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la columna $1$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $x$ del sistema con $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 & 3 \\ - 4 & 2 & 4 \\ - 2 & 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2

Obtén el determinante.

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Paso 4.2.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 4.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 4.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 4.2.1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2.1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2.1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2.1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 4.2.1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.1.9

Suma los términos juntos.

$5 | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 4.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (2 \cdot - 4 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$5 (- 8 - 5 \cdot 4) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.2.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$5 (- 8 - 20) + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.2.2.2

Resta $20$ de $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 4.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - (- 2 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.3.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 4)$ .

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Paso 4.2.3.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 - - 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 (16 + 8) + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.3.2.2

Suma $16$ y $8$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$

Paso 4.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 2 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 4.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 4 \cdot 5 - (- 2 \cdot 2))$

Paso 4.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.4.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - (- 2 \cdot 2))$

Paso 4.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 2)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 - - 4)$

Paso 4.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 (- 20 + 4)$

Paso 4.2.4.2.2

Suma $- 20$ y $4$ .

$5 \cdot - 28 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Paso 4.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.5.1.1

Multiplica $5$ por $- 28$ .

$- 140 + 2 \cdot 24 + 3 \cdot - 16$

Paso 4.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $24$ .

$- 140 + 48 + 3 \cdot - 16$

Paso 4.2.5.1.3

Multiplica $3$ por $- 16$ .

$- 140 + 48 - 48$

Paso 4.2.5.2

Suma $- 140$ y $48$ .

$- 92 - 48$

Paso 4.2.5.3

Resta $48$ de $- 92$ .

$- 140$

$D_{x} = - 140$

Paso 4.3

Usa la fórmula para resolver $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Paso 4.4

Sustituye $7$ por $D$ y $- 140$ por $D_{x}$ en la fórmula.

$x = \frac{- 140}{7}$

Paso 4.5

Divide $- 140$ por $7$ .

$x = - 20$

Paso 5

Obtén el valor de $y$ con la regla de Cramer, que establece que $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la columna $2$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $y$ del sistema con $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 5 & 3 \\ 3 & - 4 & 4 \\ - 5 & - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2

Obtén el determinante.

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Paso 5.2.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 5.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 5.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 5.2.1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$

Paso 5.2.1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.1.9

Suma los términos juntos.

$3 | \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} - 4 & 4 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (- 4 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 5.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.2.1.1

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$3 (16 - (- 2 \cdot 4)) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2

Multiplica $- (- 2 \cdot 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.2.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$3 (16 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$3 (16 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.2.2.2

Suma $16$ y $8$ .

$3 \cdot 24 - 5 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ - 5 & - 4 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 24 - 5 (3 \cdot - 4 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - (- 5 \cdot 4)) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot 4)$ .

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Paso 5.2.3.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $4$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 20$ .

$3 \cdot 24 - 5 (- 12 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.3.2.2

Suma $- 12$ y $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 5.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Paso 5.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4))$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - (- 5 \cdot - 4))$

Paso 5.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot - 4)$ .

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Paso 5.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 1 \cdot 20)$

Paso 5.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 (- 6 - 20)$

Paso 5.2.4.2.2

Resta $20$ de $- 6$ .

$3 \cdot 24 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Paso 5.2.5

Simplifica el determinante.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.5.1.1

Multiplica $3$ por $24$ .

$72 - 5 \cdot 8 + 3 \cdot - 26$

Paso 5.2.5.1.2

Multiplica $- 5$ por $8$ .

$72 - 40 + 3 \cdot - 26$

Paso 5.2.5.1.3

Multiplica $3$ por $- 26$ .

$72 - 40 - 78$

Paso 5.2.5.2

Resta $40$ de $72$ .

$32 - 78$

Paso 5.2.5.3

Resta $78$ de $32$ .

$- 46$

$D_{y} = - 46$

Paso 5.3

Usa la fórmula para resolver $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Paso 5.4

Sustituye $7$ por $D$ y $- 46$ por $D_{y}$ en la fórmula.

$y = \frac{- 46}{7}$

Paso 5.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{46}{7}$

Paso 6

Obtén el valor de $z$ con la regla de Cramer, que establece que $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la columna $3$ de la matriz del coeficiente que corresponde a los coeficientes de $z$ del sistema con $[\begin{array}{c} 5 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 3 & - 2 & 5 \\ 3 & 2 & - 4 \\ - 5 & 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 6.2

Obtén el determinante.

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Paso 6.2.1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 6.2.1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 6.2.1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 6.2.1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$

Paso 6.2.1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.1.9

Suma los términos juntos.

$3 | \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} | + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.2

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 & - 4 \\ 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 (2 \cdot - 2 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 (- 4 - 5 \cdot - 4) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.1.2

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$3 (- 4 + 20) + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.2.2.2

Suma $- 4$ y $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 | \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.3

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & - 4 \\ - 5 & - 2 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 16 + 2 (3 \cdot - 2 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.3.2.1.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - (- 5 \cdot - 4)) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot - 4)$ .

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Paso 6.2.3.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 1 \cdot 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$3 \cdot 16 + 2 (- 6 - 20) + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.3.2.2

Resta $20$ de $- 6$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 | \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$

Paso 6.2.4

Evalúa $| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ - 5 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 6.2.4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (3 \cdot 5 - (- 5 \cdot 2))$

Paso 6.2.4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.4.2.1.1

Multiplica $3$ por $5$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - (- 5 \cdot 2))$

Paso 6.2.4.2.1.2

Multiplica $- (- 5 \cdot 2)$ .

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Paso 6.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 - - 10)$

Paso 6.2.4.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 (15 + 10)$

Paso 6.2.4.2.2

Suma $15$ y $10$ .

$3 \cdot 16 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Paso 6.2.5

Simplifica el determinante.

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Paso 6.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.5.1.1

Multiplica $3$ por $16$ .

$48 + 2 \cdot - 26 + 5 \cdot 25$

Paso 6.2.5.1.2

Multiplica $2$ por $- 26$ .

$48 - 52 + 5 \cdot 25$

Paso 6.2.5.1.3

Multiplica $5$ por $25$ .

$48 - 52 + 125$

Paso 6.2.5.2

Resta $52$ de $48$ .

$- 4 + 125$

Paso 6.2.5.3

Suma $- 4$ y $125$ .

$121$

$D_{z} = 121$

Paso 6.3

Usa la fórmula para resolver $z$ .

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Paso 6.4

Sustituye $7$ por $D$ y $121$ por $D_{z}$ en la fórmula.

$z = \frac{121}{7}$

Paso 7

Enumera la solución del sistema de ecuaciones.

$x = - 20$

$y = - \frac{46}{7}$

$z = \frac{121}{7}$