Álgebra Ejemplos

$4 y^{2} + x - 32 y + 68 = 0$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 32 y + 68 = - x$

Paso 1.2

Resta $68$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y^{2} - 32 y = - x - 68$

Paso 2

Completa el cuadrado.

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = - 32$

$c = 0 = - x - 68$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = - x - 68$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 32$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 16}{4}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 16$ y $4$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 32$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1024}{16}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $1024$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 2.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(y - 4)}^{2} - 64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} - 64 = - x - 68$

Paso 3

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Suma $64$ a ambos lados de la ecuación.

$4 {(y - 4)}^{2} = - x - 68 + 64$

Paso 3.2

Suma $- 68$ y $64$ .

$4 {(y - 4)}^{2} = - x - 4$

Paso 4

Divide cada término en $4 {(y - 4)}^{2} = - x - 4$ por $4$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $4 {(y - 4)}^{2} = - x - 4$ por $4$ .

$\frac{4 {(y - 4)}^{2}}{4} = \frac{- x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 {(y - 4)}^{2}}{4} = \frac{- x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Paso 4.2.1.2

Divide ${(y - 4)}^{2}$ por $1$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{- x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{x}{4} + \frac{- 4}{4}$

Paso 4.3.1.2

Divide $- 4$ por $4$ .

${(y - 4)}^{2} = - \frac{x}{4} - 1$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{x}{4} - 1$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{x}{4}$ .

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4}) - 1$

Paso 5.1.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4}) - 1 (1)$

Paso 5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{x}{4}) - 1 (1)$ .

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4} + 1)$

Paso 5.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{x}{4} + \frac{4}{4})$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{x + 4}{4}$

Paso 5.4

Reordena los términos.

${(y - 4)}^{2} = - (\frac{1}{4} (x + 4))$

Paso 5.5

Elimina los paréntesis.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{1}{4} (x + 4)$