Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{2 + x}$

Paso 1

Obtén el cociente de las funciones.

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Paso 1.1

Reemplaza los designadores de función con las funciones reales en $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{2 + x}}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Paso 1.2.2

Combinar.

$\frac{1 \cdot 1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Paso 1.2.3

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ por $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$

Paso 1.2.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.5.1

Multiplica $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ por $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} \sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x}}$

Paso 1.2.5.2

Mueve $\sqrt{2 + x}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (\sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x})}$

Paso 1.2.5.3

Eleva $\sqrt{2 + x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} \sqrt{2 + x})}$

Paso 1.2.5.4

Eleva $\sqrt{2 + x}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} {\sqrt{2 + x}}^{1})}$

Paso 1.2.5.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{1 + 1}}$

Paso 1.2.5.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{2}}$

Paso 1.2.5.7

Reescribe ${\sqrt{2 + x}}^{2}$ como $2 + x$ .

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Paso 1.2.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 + x}$ como ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {({(2 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 1.2.5.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 1.2.5.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.5.7.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 1.2.5.7.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{1}}$

Paso 1.2.5.7.5

Simplifica.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$

Paso 2

Establece el radicando en $\sqrt{2 + x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$2 + x \geq 0$

Paso 3

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 2$

Paso 4

Establece el denominador en $\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} (2 + x) = 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

Paso 5.2

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.2.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.2.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.3

Establece $2 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.3.1

Establece $2 + x$ igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Paso 5.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (2 + x) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 2$

Paso 6

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x > - 2, x \neq 0}$

Paso 7