Álgebra Ejemplos

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \cot^{2} (x) + 2 \cot (x)$

Paso 3

Convierte a senos y cosenos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \cot (x)$

Paso 3.2

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Combina $2$ y $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.2

Para escribir $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 4.3

Escribe cada expresión con un denominador común de ${\sin (x)}^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Multiplica $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Paso 4.3.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Paso 4.3.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Paso 4.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Paso 4.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.5

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.5.2

Factoriza $\cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.5.3

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))$ .

$1 + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ como ${(1 + \cot (x))}^{2}$ .

${(1 + \cot (x))}^{2}$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$ es una identidad