Álgebra Ejemplos

$3 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ , $3 + \frac{\sqrt{6}}{3}$

Paso 1

$x = 3 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ y $x = 3 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ y $x - 3 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{6}}{3}) = 0$

Paso 2

Expande $(x - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3}) (x - 3 + \frac{\sqrt{6}}{3})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x + x \cdot - 3 + x (\frac{\sqrt{6}}{3}) - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} x - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 3 + x \frac{\sqrt{6}}{3} - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} x - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \frac{\sqrt{6}}{3}$ y $- \frac{\sqrt{6}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 + \frac{\sqrt{6}}{3} x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} x - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.1.2

Resta $\frac{\sqrt{6}}{3} x$ de $\frac{\sqrt{6}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 0 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.1.3

Suma $x \cdot x + x \cdot - 3$ y $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 3 \frac{\sqrt{6}}{3} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{6}}{3}) - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.4.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{6}}{3}) - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.4.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - 1 \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.5

Reescribe $- 1 \sqrt{6}$ como $- \sqrt{6}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ al numerador.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \frac{- \sqrt{6}}{3} \cdot - 3 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.6.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \frac{- \sqrt{6}}{3} \cdot (3 (- 1)) - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.6.3

Cancela el factor común.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \frac{- \sqrt{6}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.6.4

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot - 1 - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.8

Multiplica $\sqrt{6}$ por $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 0$

Paso 3.2.9

Multiplica $- \frac{\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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Paso 3.2.9.1

Multiplica $\frac{\sqrt{6}}{3}$ por $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.2

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.3

Eleva $\sqrt{6}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{9} = 0$

Paso 3.2.10

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} = 0$

Paso 3.2.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} = 0$

Paso 3.2.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{6^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Paso 3.2.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.10.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{6^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Paso 3.2.10.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{6}{9} = 0$

Paso 3.2.10.5

Evalúa el exponente.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{6}{9} = 0$

Paso 3.2.11

Cancela el factor común de $6$ y $9$ .

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Paso 3.2.11.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{3 (2)}{9} = 0$

Paso 3.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.11.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.11.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.11.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{2}{3} = 0$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - \frac{2}{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Suma $- \sqrt{6}$ y $\sqrt{6}$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 + 0 - \frac{2}{3} = 0$

Paso 3.3.1.2

Suma $x^{2} - 3 x - 3 x + 9$ y $0$ .

$x^{2} - 3 x - 3 x + 9 - \frac{2}{3} = 0$

Paso 3.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 6 x + 9 - \frac{2}{3} = 0$

Paso 4

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 6 x + 9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = 0$

Paso 5

Combina $9$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3} = 0$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - 6 x + \frac{9 \cdot 3 - 2}{3} = 0$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $9$ por $3$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{27 - 2}{3} = 0$

Paso 7.2

Resta $2$ de $27$ .

$x^{2} - 6 x + \frac{25}{3} = 0$

Paso 8

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${3 - \frac{\sqrt{6}}{3}, 3 + \frac{\sqrt{6}}{3}}$ es $y = x^{2} - 6 x + \frac{25}{3}$ .

$y = x^{2} - 6 x + \frac{25}{3}$

Paso 9