Álgebra Ejemplos

$(6 \sqrt{3}, \frac{5 π}{6})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 6 \sqrt{3}$ y $θ = \frac{5 π}{6}$ en las fórmulas.

$x = (6 \sqrt{3}) \cos (\frac{5 π}{6})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$x = 6 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}))$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ al numerador.

$x = 6 \sqrt{3} (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{3}$ .

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 5.3

Cancela el factor común.

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 5.4

Reescribe la expresión.

$x = 3 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

$x = 3 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = - 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 7

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = - 3 (\sqrt{3} \sqrt{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = - 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 9

Suma $1$ y $1$ .

$x = - 3 {\sqrt{3}}^{2}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$x = - 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 10.4.2

Reescribe la expresión.

$x = - 3 \cdot 3$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

$x = - 3 \cdot 3$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 10.5

Evalúa el exponente.

$x = - 3 \cdot 3$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

$x = - 3 \cdot 3$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 11

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$x = - 9$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{6})$

Paso 12

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = - 9$

$y = 6 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{6})$

Paso 13

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = - 9$

$y = 6 \sqrt{3} (\frac{1}{2})$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{3}$ .

$x = - 9$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{1}{2})$

Paso 14.2

Cancela el factor común.

$x = - 9$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{1}{2})$

Paso 14.3

Reescribe la expresión.

$x = - 9$

$y = 3 \sqrt{3}$

$x = - 9$

$y = 3 \sqrt{3}$

Paso 15

La representación rectangular del punto polar $(6 \sqrt{3}, \frac{5 π}{6})$ es $(- 9, 3 \sqrt{3})$ .

$(- 9, 3 \sqrt{3})$