Álgebra Ejemplos

$(6 \sqrt{3}, \frac{2 π}{3})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 6 \sqrt{3}$ y $θ = \frac{2 π}{3}$ en las fórmulas.

$x = (6 \sqrt{3}) \cos (\frac{2 π}{3})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$x = 6 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{3}))$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = 6 \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$x = 6 \sqrt{3} (\frac{- 1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 5.2

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{3}$ .

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 5.3

Cancela el factor común.

$x = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{- 1}{2})$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 5.4

Reescribe la expresión.

$x = 3 \sqrt{3} \cdot - 1$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

$x = 3 \sqrt{3} \cdot - 1$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = (6 \sqrt{3}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 7

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3})$

Paso 8

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1

Factoriza $2$ de $6 \sqrt{3}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 9.2

Cancela el factor común.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 2 (3 \sqrt{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 9.3

Reescribe la expresión.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Paso 10

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 (\sqrt{3} \sqrt{3})$

Paso 11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 {\sqrt{3}}^{2}$

Paso 13

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.4.1

Cancela el factor común.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Paso 13.4.2

Reescribe la expresión.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3$

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3$

Paso 13.5

Evalúa el exponente.

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3$

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 3 \cdot 3$

Paso 14

Multiplica $3$ por $3$ .

$x = - 3 \sqrt{3}$

$y = 9$

Paso 15

La representación rectangular del punto polar $(6 \sqrt{3}, \frac{2 π}{3})$ es $(- 3 \sqrt{3}, 9)$ .

$(- 3 \sqrt{3}, 9)$