Álgebra Ejemplos

$(\sqrt{3}, \frac{5 π}{3})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = \sqrt{3}$ y $θ = \frac{5 π}{3}$ en las fórmulas.

$x = (\sqrt{3}) \cos (\frac{5 π}{3})$

$y = (\sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = \sqrt{3} \cos (\frac{π}{3})$

$y = (\sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$x = \sqrt{3} (\frac{1}{2})$

$y = (\sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 5

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = (\sqrt{3}) \sin (\frac{5 π}{3})$

Paso 6

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 7

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 8

Multiplica $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Paso 8.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 8.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Paso 9

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 9.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = - \frac{3}{2}$

Paso 10

La representación rectangular del punto polar $(\sqrt{3}, \frac{5 π}{3})$ es $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$