Álgebra Ejemplos

$(\sqrt{2}, - \frac{π}{4})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = \sqrt{2}$ y $θ = - \frac{π}{4}$ en las fórmulas.

$x = (\sqrt{2}) \cos (- \frac{π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 3

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$x = \sqrt{2} \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6

Multiplica $\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 6.1

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 6.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.4.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 7.5

Evalúa el exponente.

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

$x = \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 8

Divide $2$ por $2$ .

$x = 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{π}{4})$

Paso 9

Suma las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$x = 1$

$y = \sqrt{2} \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$x = 1$

$y = \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 11

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1$

$y = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 12

Multiplica $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 12.1

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Paso 12.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Paso 12.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Paso 13

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 1$

$y = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Paso 13.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 1$

$y = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Paso 13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 13.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.4.1

Cancela el factor común.

$x = 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Paso 13.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Paso 13.5

Evalúa el exponente.

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Paso 14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 14.1

Cancela el factor común.

$x = 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Paso 14.2

Reescribe la expresión.

$x = 1$

$y = - 1 \cdot 1$

$x = 1$

$y = - 1 \cdot 1$

Paso 15

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x = 1$

$y = - 1$

Paso 16

La representación rectangular del punto polar $(\sqrt{2}, - \frac{π}{4})$ es $(1, - 1)$ .

$(1, - 1)$