Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x y + 3 x z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$ , $x + y + z = 3$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x + z = 3 - y$

Paso 1.2

Resta $z$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 3 - y - z$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $3 - y - z$ en la expresión.

$\sqrt{(3 - y - z) \cdot y + 3 (3 - y - z) \cdot z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Factoriza $3 - y - z$ de $(3 - y - z) \cdot y + 3 (3 - y - z) \cdot z$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3 - y - z$ de $(3 - y - z) \cdot y$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y) + 3 (3 - y - z) \cdot z} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$

Paso 3.1.2

Factoriza $3 - y - z$ de $3 (3 - y - z) \cdot z$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y) + (3 - y - z) (3 \cdot z)} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$

Paso 3.1.3

Factoriza $3 - y - z$ de $(3 - y - z) (y) + (3 - y - z) (3 \cdot z)$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 \cdot z)} + \sqrt{\frac{y^{2} + y z}{2}}$

Paso 3.2

Factoriza $y$ de $y^{2} + y z$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $y$ de $y^{2}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \sqrt{\frac{y \cdot y + y z}{2}}$

Paso 3.2.2

Factoriza $y$ de $y z$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \sqrt{\frac{y \cdot y + y (z)}{2}}$

Paso 3.2.3

Factoriza $y$ de $y \cdot y + y (z)$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \sqrt{\frac{y (y + z)}{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\sqrt{\frac{y (y + z)}{2}}$ como $\frac{\sqrt{y (y + z)}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.4

Multiplica $\frac{\sqrt{y (y + z)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 3.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $\frac{\sqrt{y (y + z)}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 3.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 3.5.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 3.5.6.5

Evalúa el exponente.

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z)} \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.6

Combina con la regla del producto para radicales.

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \frac{\sqrt{y (y + z) \cdot 2}}{2}$

Paso 4

Para escribir $\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{y (y + z) \cdot 2}}{2}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina $\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{y (y + z) \cdot 2}}{2}$

Paso 5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} \cdot 2 + \sqrt{y (y + z) \cdot 2}}{2}$

Paso 6

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)}$ .

$\frac{2 \sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \sqrt{y (y + z) \cdot 2}}{2}$

Paso 7

Reordena los factores en $\frac{2 \sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \sqrt{y (y + z) \cdot 2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{(3 - y - z) (y + 3 z)} + \sqrt{2 y (y + z)}}{2}$