Álgebra Ejemplos

$(1, 3)$ , $(- 2, 8)$ , $(0, 4)$

Paso 1

Usa la ecuación ordinaria de una ecuación cuadrática $y = a x^{2} + b x + c$ como el punto inicial para obtener la ecuación a través de los tres puntos.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 2

Crea un sistema de ecuaciones mediante la sustitución de los valores $x$ y $y$ de cada punto en la fórmula estándar de una ecuación cuadrática para crear el sistema de tres ecuaciones.

$3 = a {(1)}^{2} + b (1) + c, 8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c, 4 = a {(0)}^{2} + b (0) + c$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

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Paso 3.1

Resuelve $c$ en $4 = a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $a \cdot 0^{2} + c = 4$ .

$a \cdot 0^{2} + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Paso 3.1.2

Simplifica $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a \cdot 0 + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $a$ por $0$ .

$0 + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$0 + c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $c$ .

$c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$c = 4$

$3 = a + b + c$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $c$ por $4$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $c$ en $3 = a + b + c$ por $4$ .

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $c$ en $8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + c$ por $4$ .

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Paso 3.2.4

Simplifica $8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$ .

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Paso 3.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = a {(- 2)}^{2} + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$8 = a \cdot 4 + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Paso 3.2.4.2.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $a$ .

$8 = 4 \cdot a + b (- 2) + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Paso 3.2.4.2.1.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $b$ .

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$3 = a + b + 4$

$c = 4$

Paso 3.3

Resuelve $a$ en $3 = a + b + 4$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $a + b + 4 = 3$ .

$a + b + 4 = 3$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $b$ de ambos lados de la ecuación.

$a + 4 = 3 - b$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Paso 3.3.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$a = 3 - b - 4$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Paso 3.3.2.3

Resta $4$ de $3$ .

$a = - b - 1$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

$a = - b - 1$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

$a = - b - 1$

$8 = 4 a - 2 b + 4$

$c = 4$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $a$ por $- b - 1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $a$ en $8 = 4 a - 2 b + 4$ por $- b - 1$ .

$8 = 4 (- b - 1) - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $4 (- b - 1) - 2 b + 4$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 = 4 (- b) + 4 \cdot - 1 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$8 = - 4 b + 4 \cdot - 1 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.4.2.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$8 = - 4 b - 4 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 4 b - 4 - 2 b + 4$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Combina los términos opuestos en $- 4 b - 4 - 2 b + 4$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$8 = - 4 b - 2 b + 0$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.4.2.1.2.1.2

Suma $- 4 b - 2 b$ y $0$ .

$8 = - 4 b - 2 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 4 b - 2 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.4.2.1.2.2

Resta $2 b$ de $- 4 b$ .

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$8 = - 6 b$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5

Resuelve $b$ en $8 = - 6 b$ .

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $- 6 b = 8$ .

$- 6 b = 8$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $- 6 b = 8$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $- 6 b = 8$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 b}{- 6} = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{8}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Cancela el factor común de $8$ y $- 6$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$b = \frac{2 (4)}{- 6}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$b = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$b = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$b = \frac{4}{- 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{4}{- 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = \frac{4}{- 3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

$b = - \frac{4}{3}$

$a = - b - 1$

$c = 4$

Paso 3.6

Reemplaza todos los casos de $b$ por $- \frac{4}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 3.6.1

Reemplaza todos los casos de $b$ en $a = - b - 1$ por $- \frac{4}{3}$ .

$a = - (- \frac{4}{3}) - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.2.1

Simplifica $- (- \frac{4}{3}) - 1$ .

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Paso 3.6.2.1.1

Multiplica $- (- \frac{4}{3})$ .

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Paso 3.6.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a = 1 (\frac{4}{3}) - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.1.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$a = \frac{4}{3} - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{4}{3} - 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$a = \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$a = \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$a = \frac{4 - 1 \cdot 3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$a = \frac{4 - 3}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.6.2.1.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 4$

Paso 3.7

Enumera todas las soluciones.

$a = \frac{1}{3}, b = - \frac{4}{3}, c = 4$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a$ , $b$ y $c$ en la fórmula para una ecuación cuadrática a fin de obtener la ecuación resultante.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{4 x}{3} + 4$

Paso 5