Álgebra Ejemplos

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $b$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

Paso 2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $b$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

Paso 2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

Paso 2.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

Paso 2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1

Reordena los factores en $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

Paso 2.2.2

Reordena $\log (2 b)$ y $- x \log (b)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

Paso 3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1

Simplifica $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica $3 \log (b)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

Paso 3.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

Paso 3.1.3

Multiplica $b$ por $b^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.3.1

Mueve $b^{3}$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $b^{3}$ por $b$ .

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Paso 3.1.3.2.1

Eleva $b$ a la potencia de $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

Paso 3.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

Paso 3.1.3.3

Suma $3$ y $1$ .

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

Paso 4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

Paso 5

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

Paso 6.2

Combinar.

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

Paso 6.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

Paso 7

Reescribe $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

Paso 8

Resuelve $b$

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Paso 8.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

Paso 8.2

Expande $\ln (10^{- x \log (b)})$ ; para ello, mueve $- x \log (b)$ fuera del logaritmo.

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$