Álgebra Ejemplos

$2 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ , $2 + \frac{\sqrt{21}}{3}$

Paso 1

$x = 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ y $x = 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}$ y $x - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}) = 0$

Paso 2

Expande $(x - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3}) (x - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + x (\frac{\sqrt{21}}{3}) - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + x \frac{\sqrt{21}}{3} - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Paso 3.1.1

Reordena los factores en los términos $x \frac{\sqrt{21}}{3}$ y $- \frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 + \frac{\sqrt{21}}{3} x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} x - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.1.2

Resta $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ de $\frac{\sqrt{21}}{3} x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 0 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.1.3

Suma $x \cdot x + x \cdot - 2$ y $0$ .

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 2 \frac{\sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.4

Combina $- 2$ y $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + \frac{- 2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{(2) \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2 - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.6

Multiplica $- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot - 2$ .

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Paso 3.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2 (\frac{\sqrt{21}}{3}) - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.6.2

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3} = 0$

Paso 3.2.7

Multiplica $- \frac{\sqrt{21}}{3} \cdot \frac{\sqrt{21}}{3}$ .

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Paso 3.2.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{21}}{3}$ por $\frac{\sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.7.2

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.7.3

Eleva $\sqrt{21}$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{\sqrt{21} \sqrt{21}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.7.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.7.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{\sqrt{21}}^{2}}{9} = 0$

Paso 3.2.8

Reescribe ${\sqrt{21}}^{2}$ como $21$ .

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Paso 3.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{21}$ como $21^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} = 0$

Paso 3.2.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} = 0$

Paso 3.2.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Paso 3.2.8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.8.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21^{\frac{2}{2}}}{9} = 0$

Paso 3.2.8.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21}{9} = 0$

Paso 3.2.8.5

Evalúa el exponente.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{21}{9} = 0$

Paso 3.2.9

Cancela el factor común de $21$ y $9$ .

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Paso 3.2.9.1

Factoriza $3$ de $21$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{3 (7)}{9} = 0$

Paso 3.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.9.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 3} = 0$

Paso 3.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{2 \sqrt{21}}{3} + \frac{2 \sqrt{21}}{3} - \frac{7}{3}$ .

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Paso 3.3.1.1

Suma $- \frac{2 \sqrt{21}}{3}$ y $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 + 0 - \frac{7}{3} = 0$

Paso 3.3.1.2

Suma $x^{2} - 2 x - 2 x + 4$ y $0$ .

$x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - \frac{7}{3} = 0$

Paso 3.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 4 x + 4 - \frac{7}{3} = 0$

Paso 4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Paso 5

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3} = 0$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - 4 x + \frac{4 \cdot 3 - 7}{3} = 0$

Paso 7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{12 - 7}{3} = 0$

Paso 7.2

Resta $7$ de $12$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{5}{3} = 0$

Paso 8

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${2 - \frac{\sqrt{21}}{3}, 2 + \frac{\sqrt{21}}{3}}$ es $y = x^{2} - 4 x + \frac{5}{3}$ .

$y = x^{2} - 4 x + \frac{5}{3}$

Paso 9