Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} 5 & x \\ 3 & 6 \end{array}]$

Paso 1

La inversa de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse mediante la fórmula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , en la que $a d - b c$ es el determinante.

Paso 2

Obtén el determinante.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 6 - 3 x$

Paso 2.2

Multiplica $5$ por $6$ .

$30 - 3 x$

Paso 3

Como el determinante no es nulo, existe el inverso.

Paso 4

Sustituye los valores conocidos en la fórmula para la inversa.

$\frac{1}{30 - 3 x} [\begin{array}{c} 6 & - x \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Paso 5

Factoriza $3$ de $30 - 3 x$ .

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Paso 5.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$\frac{1}{3 (10) - 3 x} [\begin{array}{c} 6 & - x \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Paso 5.2

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{1}{3 (10) + 3 (- x)} [\begin{array}{c} 6 & - x \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Paso 5.3

Factoriza $3$ de $3 (10) + 3 (- x)$ .

$\frac{1}{3 (10 - x)} [\begin{array}{c} 6 & - x \\ - 3 & 5 \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $\frac{1}{3 (10 - x)}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 6 & \frac{1}{3 (10 - x)} (- x) \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot (3 (2)) & \frac{1}{3 (10 - x)} (- x) \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot (3 \cdot 2) & \frac{1}{3 (10 - x)} (- x) \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{10 - x} \cdot 2 & \frac{1}{3 (10 - x)} (- x) \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{10 - x}$ y $2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & \frac{1}{3 (10 - x)} (- x) \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{1}{3 (10 - x)} x \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.4

Combina $x$ y $\frac{1}{3 (10 - x)}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot - 3 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.5.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot (3 (- 1)) & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot (3 \cdot - 1) & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.5.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ \frac{1}{10 - x} \cdot - 1 & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.6

Combina $\frac{1}{10 - x}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ \frac{- 1}{10 - x} & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ - \frac{1}{10 - x} & \frac{1}{3 (10 - x)} \cdot 5 \end{array}]$

Paso 7.8

Combina $\frac{1}{3 (10 - x)}$ y $5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{10 - x} & - \frac{x}{3 (10 - x)} \\ - \frac{1}{10 - x} & \frac{5}{3 (10 - x)} \end{array}]$