Álgebra Ejemplos

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x)) = \cot (x) - \tan (x)$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\cot (x) - \tan (x)$

Paso 2

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 2.1

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \tan (x)$

Paso 2.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3

Resta de fracciones.

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Paso 3.1

Para escribir $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin (x) \cos (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 3.3.3

Reordena los factores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 4

Simplifica cada término.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{1 - \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 6

Resta ${\sin (x)}^{2}$ de $- {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 7

Ahora considera el lado izquierdo de la ecuación.

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x))$

Paso 8

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 8.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\csc (x) - 2 \sin (x))$

Paso 8.2

Aplica la identidad recíproca a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} - 2 \sin (x))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$

Paso 9.2

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$

Paso 9.3

Multiplica $\frac{1}{\cos (x)} (- 2 \sin (x))$ .

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Paso 9.3.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Paso 9.3.2

Combina $\frac{- 2}{\cos (x)}$ y $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{- 2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 9.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 10

Resta de fracciones.

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Paso 10.1

Para escribir $- \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - 2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 11

Multiplica $- 2 \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - 2 \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Paso 12

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sec (x) (\csc (x) - 2 \sin (x)) = \cot (x) - \tan (x)$ es una identidad