Álgebra Ejemplos

$y = - \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80$

Paso 1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{1}{6} x^{2} + 7 x - 80 = y$

Paso 2

Suma $80$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{6} x^{2} + 7 x = y + 80$

Paso 3

Completa el cuadrado.

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Paso 3.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{x^{2}}{6} + 7 x = y + 80$

Paso 3.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{6}$

$b = 7$

$c = 0 = y + 80$

Paso 3.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 80$

Paso 3.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{6})}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{6})}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{6}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{6}}$

Paso 3.4.2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $6$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 (- 1)}{6}}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Paso 3.4.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{7}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}}$

Paso 3.4.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{7}{\frac{- 1}{3}}$

Paso 3.4.2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = \frac{7}{- \frac{1}{3}}$

Paso 3.4.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 7 (- 1 \cdot 3)$

Paso 3.4.2.4

Multiplica $7 (- 1 \cdot 3)$ .

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Paso 3.4.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$d = 7 \cdot - 3$

Paso 3.4.2.4.2

Multiplica $7$ por $- 3$ .

$d = - 21$

Paso 3.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{6})}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{6})}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{6}$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 4}{6}}$

Paso 3.5.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1.3.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 3.5.2.1.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 (- 2)}{6}}$

Paso 3.5.2.1.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 3.5.2.1.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}}$

Paso 3.5.2.1.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 2}{3}}$

Paso 3.5.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - \frac{49}{- \frac{2}{3}}$

Paso 3.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (49 (- \frac{3}{2}))$

Paso 3.5.2.1.5

Multiplica $49 (- \frac{3}{2})$ .

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Paso 3.5.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$e = 0 - (- 49 (\frac{3}{2}))$

Paso 3.5.2.1.5.2

Combina $- 49$ y $\frac{3}{2}$ .

$e = 0 - \frac{- 49 \cdot 3}{2}$

Paso 3.5.2.1.5.3

Multiplica $- 49$ por $3$ .

$e = 0 - \frac{- 147}{2}$

Paso 3.5.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{147}{2}$

Paso 3.5.2.1.7

Multiplica $- - \frac{147}{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{147}{2})$

Paso 3.5.2.1.7.2

Multiplica $\frac{147}{2}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{147}{2}$

Paso 3.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{147}{2}$ .

$e = \frac{147}{2}$

Paso 3.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{6} {(x - 21)}^{2} + \frac{147}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} + \frac{147}{2} = y + 80$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $\frac{147}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + 80 - \frac{147}{2}$

Paso 4.2

Para escribir $80$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + 80 \cdot \frac{2}{2} - \frac{147}{2}$

Paso 4.3

Combina $80$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{80 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{80 \cdot 2 - 147}{2}$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $80$ por $2$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{160 - 147}{2}$

Paso 4.5.2

Resta $147$ de $160$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$

Paso 5

Multiplica cada término en $- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$ por $- 6$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} = y + \frac{13}{2}$ por $- 6$ .

$- \frac{1}{6} \cdot {(x - 21)}^{2} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Combina ${(x - 21)}^{2}$ y $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{{(x - 21)}^{2}}{6} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{(x - 21)}^{2}}{6}$ al numerador.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot - 6 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot (6 (- 1)) = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- {(x - 21)}^{2}}{6} \cdot (6 \cdot - 1) = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- {(x - 21)}^{2} \cdot - 1 = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2.3

Multiplica.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(x - 21)}^{2} = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.2.3.2

Multiplica ${(x - 21)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 21)}^{2} = y \cdot - 6 + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Mueve $- 6$ a la izquierda de $y$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 \cdot y + \frac{13}{2} \cdot - 6$

Paso 5.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + \frac{13}{2} \cdot (2 (- 3))$

Paso 5.3.1.2.2

Cancela el factor común.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + \frac{13}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 5.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

${(x - 21)}^{2} = - 6 y + 13 \cdot - 3$

Paso 5.3.1.3

Multiplica $13$ por $- 3$ .

${(x - 21)}^{2} = - 6 y - 39$

Paso 6

Factoriza $3$ de $- 6 y - 39$ .

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Paso 6.1

Factoriza $3$ de $- 6 y$ .

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y) - 39$

Paso 6.2

Factoriza $3$ de $- 39$ .

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y) + 3 (- 13)$

Paso 6.3

Factoriza $3$ de $3 (- 2 y) + 3 (- 13)$ .

${(x - 21)}^{2} = 3 (- 2 y - 13)$