Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} x & 0 & - 3 \\ 5 & x & x^{2} \\ - 5 & x & 1 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la columna $2$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 5 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 5 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{22}$ es la determinante con la fila $2$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} x & - 3 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{22}$ por su cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ - 5 & 1 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{32}$ es la determinante con la fila $3$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{32}$ por su cofactor.

$- x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$0 | \begin{array}{c} 5 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} | + x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ - 5 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 5 & x^{2} \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

$0 + x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ - 5 & 1 \end{array} | - x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} x & - 3 \\ - 5 & 1 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + x (x \cdot 1 - (- 5 \cdot - 3)) - x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$0 + x (x - (- 5 \cdot - 3)) - x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 3.2.2

Multiplica $- (- 5 \cdot - 3)$ .

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$0 + x (x - 1 \cdot 15) - x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$0 + x (x - 15) - x | \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} x & - 3 \\ 5 & x^{2} \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 + x (x - 15) - x (x \cdot x^{2} - 5 \cdot - 3)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$0 + x (x - 15) - x (x^{1} x^{2} - 5 \cdot - 3)$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$0 + x (x - 15) - x (x^{1 + 2} - 5 \cdot - 3)$

Paso 4.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$0 + x (x - 15) - x (x^{3} - 5 \cdot - 3)$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$0 + x (x - 15) - x (x^{3} + 15)$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Suma $0$ y $x (x - 15)$ .

$x (x - 15) - x (x^{3} + 15)$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 15 - x (x^{3} + 15)$

Paso 5.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 15 - x (x^{3} + 15)$

Paso 5.2.3

Mueve $- 15$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 15 \cdot x - x (x^{3} + 15)$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 15 x - x \cdot x^{3} - x \cdot 15$

Paso 5.2.5

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.5.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{2} - 15 x - (x^{3} x) - x \cdot 15$

Paso 5.2.5.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 5.2.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 15 x - (x^{3} x^{1}) - x \cdot 15$

Paso 5.2.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 15 x - x^{3 + 1} - x \cdot 15$

Paso 5.2.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$x^{2} - 15 x - x^{4} - x \cdot 15$

Paso 5.2.6

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$x^{2} - 15 x - x^{4} - 15 x$

Paso 5.3

Resta $15 x$ de $- 15 x$ .

$x^{2} - x^{4} - 30 x$