Álgebra Ejemplos

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 {(1)}^{3} + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 \cdot 1 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Paso 4.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$1 + 6 + 7 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 - 8$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 + 6 + 7 \cdot 1 - 6 \cdot 1 - 8$

Paso 4.1.5

Multiplica $7$ por $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 \cdot 1 - 8$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$1 + 6 + 7 - 6 - 8$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $1$ y $6$ .

$7 + 7 - 6 - 8$

Paso 4.2.2

Suma $7$ y $7$ .

$14 - 6 - 8$

Paso 4.2.3

Resta $6$ de $14$ .

$8 - 8$

Paso 4.2.4

Resta $8$ de $8$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$
	$1$	$7$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$
	$1$	$7$	$14$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(14)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 6)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(8)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$6$	$7$	$- 6$	$- 8$
		$1$	$7$	$14$	$8$
	$1$	$7$	$14$	$8$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 7 x^{2} + (14) x + 8$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 7 x^{2} + 14 x + 8$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{3} + 8 + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 7.1.2

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 7.1.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 7.1.4

Simplifica.

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Paso 7.1.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 7.1.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x^{2} + 14 x = 0$

Paso 7.1.5

Factoriza $7 x$ de $7 x^{2} + 14 x$ .

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Paso 7.1.5.1

Factoriza $7 x$ de $7 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 14 x = 0$

Paso 7.1.5.2

Factoriza $7 x$ de $14 x$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x) + 7 x (2) = 0$

Paso 7.1.5.3

Factoriza $7 x$ de $7 x (x) + 7 x (2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2) = 0$

Paso 7.1.6

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + 7 x (x + 2)$ .

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $x + 2$ de $7 x (x + 2)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x) = 0$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (7 x)$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4 + 7 x) = 0$

Paso 7.1.7

Suma $- 2 x$ y $7 x$ .

$(x + 2) (x^{2} + 5 x + 4) = 0$

Paso 7.1.8

Factoriza.

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Paso 7.1.8.1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 7.1.8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 7.1.8.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 2) ((x + 1) (x + 4)) = 0$

Paso 7.1.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$

Paso 7.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 7.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 7.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 7.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 7.5

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.5.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 7.5.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x + 1) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = - 2, - 1, - 4$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 1) (x + 2) (x + 1) (x + 4)$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$ .

$x = 1, - 2, - 1, - 4$

Paso 10