Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{9}{32}$ , $\frac{27}{128}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{3}{4}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{3}{4}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = \frac{1}{2}$ y $r = \frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

Paso 5

Combinar.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 6

Multiplica $3^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

Paso 7

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot {(2^{2})}^{n - 1}}$

Paso 7.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{n - 1}$ .

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Paso 7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 (n - 1)}}$

Paso 7.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n + 2 \cdot - 1}}$

Paso 7.2.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n - 2}}$

Paso 7.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{1 + 2 n - 2}}$

Paso 7.4

Resta $2$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{2 n - 1}}$

Paso 8

Sustituye el valor de $n$ para obtener el término número $n$ .

$a_{5} = \frac{3^{(5) - 1}}{2^{2 (5) - 1}}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Resta $1$ de $5$ .

$a_{5} = \frac{3^{4}}{2^{2 (5) - 1}}$

Paso 9.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{2 (5) - 1}}$

Paso 10

Simplifica el denominador.

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Paso 10.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{10 - 1}}$

Paso 10.2

Resta $1$ de $10$ .

$a_{5} = \frac{81}{2^{9}}$

Paso 10.3

Eleva $2$ a la potencia de $9$ .

$a_{5} = \frac{81}{512}$