Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{3} + \frac{2}{9} + \frac{4}{27} + \frac{8}{81} + \frac{16}{243}$

Paso 1

Esta es una progresión geométrica porque hay una razón en común entre cada término. En este caso, multiplicar el término anterior en la progresión por $\frac{2}{3}$ da el término siguiente. En otras palabras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

progresión geométrica: $r = \frac{2}{3}$

Paso 2

Esta es la forma de una progresión geométrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Paso 3

Sustituye los valores de $a_{1} = \frac{1}{3}$ y $r = \frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Paso 4

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$a_{n} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

Paso 5

Combinar.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3 \cdot 3^{n - 1}}$

Paso 6

Multiplica $3$ por $3^{n - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1

Multiplica $3$ por $3^{n - 1}$ .

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Paso 6.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1} \cdot 3^{n - 1}}$

Paso 6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{1 + n - 1}}$

Paso 6.2

Combina los términos opuestos en $1 + n - 1$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n + 0}}$

Paso 6.2.2

Suma $n$ y $0$ .

$a_{n} = \frac{1 \cdot 2^{n - 1}}{3^{n}}$

Paso 7

Multiplica $2^{n - 1}$ por $1$ .

$a_{n} = \frac{2^{n - 1}}{3^{n}}$

Paso 8

Esta es la fórmula para obtener la suma de los primeros términos $n$ de la progresión geométrica. Para evaluarla, obtén los valores de $r$ y $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Paso 9

Reemplaza las variables con los valores conocidos para obtener $S_{5}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{5} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a $\frac{2}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{2^{5}}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{3^{5}} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.3

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} - 1 \cdot \frac{243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.5

Combina $- 1$ y $\frac{243}{243}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32}{243} + \frac{- 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 1 \cdot 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.7

Simplifica el numerador.

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Paso 10.7.1

Multiplica $- 1$ por $243$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{32 - 243}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.7.2

Resta $243$ de $32$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{- 211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 10.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 11

Simplifica el denominador.

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Paso 11.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 11.2

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 11.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 11.4.2

Resta $3$ de $2$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{\frac{- 1}{3}}$

Paso 11.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{- \frac{211}{243}}{- \frac{1}{3}}$

Paso 12

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 12.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\frac{211}{243}}{\frac{1}{3}}$

Paso 12.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (\frac{211}{243} \cdot 3)$

Paso 12.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.3.1

Factoriza $3$ de $\frac{211}{243} \cdot 3$ .

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Paso 12.3.2

Cancela el factor común.

$S_{5} = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot \frac{211}{243})$

Paso 12.3.3

Reescribe la expresión.

$S_{5} = \frac{211}{243}$