Álgebra Ejemplos

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 + \cot^{2} (x) + \tan^{2} (x)$

Paso 3

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 3.1

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)$

Paso 3.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 3.4

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

Escribe $1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Suma fracciones.

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Paso 5.1

Para escribir $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{1}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 6

Simplifica cada término.

$\frac{\cos^{2} (x) + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7

Escribe $\cos^{2} (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8

Suma fracciones.

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Paso 8.1

Para escribir $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{\cos^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 9

Escribe $\sin^{2} (x)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10

Suma fracciones.

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Paso 10.1

Para escribir $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10.2

Multiplica $\frac{\sin^{2} (x)}{1}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 10.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 11

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

$\frac{\frac{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 12

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\frac{\frac{(1 - \sin^{2} (x)) \sin^{2} (x) + \cos^{4} (x) + \sin^{4} (x)}{\sin^{2} (x)}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(1 - {\sin (x)}^{2}) {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2.2

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2.3

Multiplica ${\sin (x)}^{2}$ por ${\sin (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.3.1

Mueve ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} + {\cos (x)}^{4} + {\sin (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2.4

Suma $- {\sin (x)}^{4}$ y ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4} + 0}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.2.5

Suma ${\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}$ y $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 13.3

Multiplica $\frac{{\sin (x)}^{2} + {\cos (x)}^{4}}{{\sin (x)}^{2}}$ por $\frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{4} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 15

Ahora considera el lado derecho de la ecuación.

$\cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Paso 16

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 16.1

Escribe $\cot (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + \sec^{2} (x)$

Paso 16.2

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 16.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 16.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 17

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 18

Suma fracciones.

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Paso 18.1

Para escribir $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 18.2

Para escribir $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 18.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.3.1

Multiplica $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Paso 18.3.2

Multiplica $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 18.3.3

Reordena los factores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 18.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 19

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por ${\cos (x)}^{2}$ sumando los exponentes.

$\frac{\cos^{4} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Paso 20

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\csc^{2} (x) + \tan^{2} (x) = \cot^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ es una identidad