Álgebra Ejemplos

$(2 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$

Paso 1

Usa las fórmulas de conversión para convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Paso 2

Sustituye los valores conocidos de $r = 2 \sqrt{2}$ y $θ = \frac{7 π}{4}$ en las fórmulas.

$x = (2 \sqrt{2}) \cos (\frac{7 π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$x = 2 \sqrt{2} \cos (\frac{π}{4})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 4

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$x = 2 (\sqrt{2}) (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$x = \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = \sqrt{2} \sqrt{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$x = {\sqrt{2}}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 8

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2^{\frac{2}{2}}$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 8.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 8.5

Evalúa el exponente.

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

$x = 2$

$y = (2 \sqrt{2}) \sin (\frac{7 π}{4})$

Paso 9

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el cuarto cuadrante.

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Paso 10

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 11.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$x = 2$

$y = 2 (\sqrt{2}) (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 11.3

Cancela el factor común.

$x = 2$

$y = 2 \sqrt{2} (\frac{- \sqrt{2}}{2})$

Paso 11.4

Reescribe la expresión.

$x = 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

$x = 2$

$y = \sqrt{2} (- \sqrt{2})$

Paso 12

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = 2$

$y = - (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Paso 13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Paso 14

Suma $1$ y $1$ .

$x = 2$

$y = - {\sqrt{2}}^{2}$

Paso 15

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = 2$

$y = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 15.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 2$

$y = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.4.1

Cancela el factor común.

$x = 2$

$y = - 2^{\frac{2}{2}}$

Paso 15.4.2

Reescribe la expresión.

$x = 2$

$y = - 2$

$x = 2$

$y = - 2$

Paso 15.5

Evalúa el exponente.

$x = 2$

$y = - 1 \cdot 2$

$x = 2$

$y = - 1 \cdot 2$

Paso 16

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = 2$

$y = - 2$

Paso 17

La representación rectangular del punto polar $(2 \sqrt{2}, \frac{7 π}{4})$ es $(2, - 2)$ .

$(2, - 2)$