Álgebra Ejemplos

$x = - \frac{1}{2} y^{2} - 7 y - \frac{65}{2}$

Paso 1

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 7 y - \frac{65}{2} = x$

Paso 2

Suma $\frac{65}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{2} y^{2} - 7 y = x + \frac{65}{2}$

Paso 3

Completa el cuadrado.

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Paso 3.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y^{2}}{2} - 7 y = x + \frac{65}{2}$

Paso 3.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 7$

$c = 0 = x + \frac{65}{2}$

Paso 3.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = x + \frac{65}{2}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 7}{2 (- \frac{1}{2})}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = \frac{- 7}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 7}{\frac{- 2}{2}}$

Paso 3.4.2.2

Divide $- 2$ por $2$ .

$d = \frac{- 7}{- 1}$

Paso 3.4.2.3

Divide $- 7$ por $- 1$ .

$d = 7$

Paso 3.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 7)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Eleva $- 7$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{2})}$

Paso 3.5.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{49}{\frac{- 4}{2}}$

Paso 3.5.2.1.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{49}{- 2}$

Paso 3.5.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{49}{2}$

Paso 3.5.2.1.5

Multiplica $- - \frac{49}{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{49}{2})$

Paso 3.5.2.1.5.2

Multiplica $\frac{49}{2}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{49}{2}$

Paso 3.5.2.2

Suma $0$ y $\frac{49}{2}$ .

$e = \frac{49}{2}$

Paso 3.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{2} {(y + 7)}^{2} + \frac{49}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} + \frac{49}{2} = x + \frac{65}{2}$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $\frac{49}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} = x + \frac{65}{2} - \frac{49}{2}$

Paso 4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} = x + \frac{65 - 49}{2}$

Paso 4.3

Resta $49$ de $65$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} = x + \frac{16}{2}$

Paso 4.4

Divide $16$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} = x + 8$

Paso 5

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} = x + 8$ por $- 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} = x + 8$ por $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot {(y + 7)}^{2} \cdot - 2 = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Combina ${(y + 7)}^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(y + 7)}^{2}}{2} \cdot - 2 = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{{(y + 7)}^{2}}{2}$ al numerador.

$\frac{- {(y + 7)}^{2}}{2} \cdot - 2 = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{- {(y + 7)}^{2}}{2} \cdot (2 (- 1)) = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{- {(y + 7)}^{2}}{2} \cdot (2 \cdot - 1) = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$- {(y + 7)}^{2} \cdot - 1 = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2.3

Multiplica.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(y + 7)}^{2} = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.2.3.2

Multiplica ${(y + 7)}^{2}$ por $1$ .

${(y + 7)}^{2} = x \cdot - 2 + 8 \cdot - 2$

Paso 5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.1.1

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

${(y + 7)}^{2} = - 2 \cdot x + 8 \cdot - 2$

Paso 5.3.1.2

Multiplica $8$ por $- 2$ .

${(y + 7)}^{2} = - 2 x - 16$

Paso 6

Factoriza.

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $- 2 x - 16$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

${(y + 7)}^{2} = 2 (- x) - 16$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $- 16$ .

${(y + 7)}^{2} = 2 (- x) + 2 (- 8)$

Paso 6.1.3

Factoriza $2$ de $2 (- x) + 2 (- 8)$ .

${(y + 7)}^{2} = 2 (- x - 8)$

Paso 6.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(y + 7)}^{2} = 2 (- (x) - 8)$

Paso 6.3

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

${(y + 7)}^{2} = 2 (- (x) - 1 (8))$

Paso 6.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (8)$ .

${(y + 7)}^{2} = 2 (- (x + 8))$

Paso 6.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

${(y + 7)}^{2} = - 2 (x + 8)$