Álgebra Ejemplos

$f (x) = - 6 x^{2} + 9 x - 17$

Paso 1

Escribe $f (x) = - 6 x^{2} + 9 x - 17$ como una ecuación.

$y = - 6 x^{2} + 9 x - 17$

Paso 2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 6 x^{2} + 9 x - 17 = y$

Paso 3

Suma $17$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 x^{2} + 9 x = y + 17$

Paso 4

Completa el cuadrado.

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 6$

$b = 9$

$c = 0 = y + 17$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 17$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{9}{2 \cdot - 6}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.1

Cancela el factor común de $9$ y $- 6$ .

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Paso 4.3.2.1.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$d = \frac{3 (3)}{2 \cdot - 6}$

Paso 4.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1.2.1

Factoriza $3$ de $2 \cdot - 6$ .

$d = \frac{3 (3)}{3 (2 \cdot - 2)}$

Paso 4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3 \cdot 3}{3 (2 \cdot - 2)}$

Paso 4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{2 \cdot - 2}$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$d = \frac{3}{- 4}$

Paso 4.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = - \frac{3}{4}$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{9^{2}}{4 \cdot - 6}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{81}{4 \cdot - 6}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$e = 0 - \frac{81}{- 24}$

Paso 4.4.2.1.3

Cancela el factor común de $81$ y $- 24$ .

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Paso 4.4.2.1.3.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$e = 0 - \frac{3 (27)}{- 24}$

Paso 4.4.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $- 24$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 8}$

Paso 4.4.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot - 8}$

Paso 4.4.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{27}{- 8}$

Paso 4.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 0 - - \frac{27}{8}$

Paso 4.4.2.1.5

Multiplica $- - \frac{27}{8}$ .

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Paso 4.4.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{27}{8})$

Paso 4.4.2.1.5.2

Multiplica $\frac{27}{8}$ por $1$ .

$e = 0 + \frac{27}{8}$

Paso 4.4.2.2

Suma $0$ y $\frac{27}{8}$ .

$e = \frac{27}{8}$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{27}{8}$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} + \frac{27}{8} = y + 17$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $\frac{27}{8}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + 17 - \frac{27}{8}$

Paso 5.2

Para escribir $17$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + 17 \cdot \frac{8}{8} - \frac{27}{8}$

Paso 5.3

Combina $17$ y $\frac{8}{8}$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{17 \cdot 8}{8} - \frac{27}{8}$

Paso 5.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{17 \cdot 8 - 27}{8}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Multiplica $17$ por $8$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{136 - 27}{8}$

Paso 5.5.2

Resta $27$ de $136$ .

$- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$

Paso 6

Divide cada término en $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2} = y + \frac{109}{8}$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{- 6} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 {(x - \frac{3}{4})}^{2}}{- 6} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Paso 6.2.1.2

Divide ${(x - \frac{3}{4})}^{2}$ por $1$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = \frac{y}{- 6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{\frac{109}{8}}{- 6}$

Paso 6.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{109}{8} \cdot \frac{1}{- 6}$

Paso 6.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} + \frac{109}{8} (- \frac{1}{6})$

Paso 6.3.1.4

Multiplica $\frac{109}{8} (- \frac{1}{6})$ .

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Paso 6.3.1.4.1

Multiplica $\frac{109}{8}$ por $\frac{1}{6}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} - \frac{109}{8 \cdot 6}$

Paso 6.3.1.4.2

Multiplica $8$ por $6$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y}{6} - \frac{109}{48}$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{y}{6} - \frac{109}{48}$ .

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Paso 7.1.1

Factoriza $- 1$ de $- \frac{y}{6}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6}) - \frac{109}{48}$

Paso 7.1.2

Factoriza $- 1$ de $- \frac{109}{48}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6}) - (\frac{109}{48})$

Paso 7.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (\frac{y}{6}) - (\frac{109}{48})$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6} + \frac{109}{48})$

Paso 7.2

Para escribir $\frac{y}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y}{6} \cdot \frac{8}{8} + \frac{109}{48})$

Paso 7.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $48$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.3.1

Multiplica $\frac{y}{6}$ por $\frac{8}{8}$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y \cdot 8}{6 \cdot 8} + \frac{109}{48})$

Paso 7.3.2

Multiplica $6$ por $8$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{y \cdot 8}{48} + \frac{109}{48})$

Paso 7.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{y \cdot 8 + 109}{48}$

Paso 7.5

Mueve $8$ a la izquierda de $y$ .

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{8 y + 109}{48}$

Paso 7.6

Reordena los términos.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - (\frac{1}{48} (8 y + 109))$

Paso 7.7

Elimina los paréntesis.

${(x - \frac{3}{4})}^{2} = - \frac{1}{48} (8 y + 109)$