Álgebra Ejemplos

${4, \frac{5}{6}}$

Paso 1

$x = 4$ y $x = \frac{5}{6}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - 4$ y $x - \frac{5}{6}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - 4) (x - \frac{5}{6}) = 0$

Paso 2

Expande $(x - 4) (x - \frac{5}{6})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - \frac{5}{6}) - 4 (x - \frac{5}{6}) = 0$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{6}) - 4 (x - \frac{5}{6}) = 0$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{5}{6}) - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{5}{6}) - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Paso 3.1.2

Combina $x$ y $\frac{5}{6}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 5}{6} - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Paso 3.1.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - \frac{5 \cdot x}{6} - 4 x - 4 (- \frac{5}{6}) = 0$

Paso 3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{6}$ al numerador.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x - 4 (\frac{- 5}{6}) = 0$

Paso 3.1.4.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + 2 (- 2) (\frac{- 5}{6}) = 0$

Paso 3.1.4.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + 2 \cdot (- 2 \frac{- 5}{2 \cdot 3}) = 0$

Paso 3.1.4.4

Cancela el factor común.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + 2 \cdot (- 2 \frac{- 5}{2 \cdot 3}) = 0$

Paso 3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x - 2 (\frac{- 5}{3}) = 0$

Paso 3.1.5

Combina $- 2$ y $\frac{- 5}{3}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + \frac{- 2 \cdot - 5}{3} = 0$

Paso 3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 5$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.2

Para escribir $- 4 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} - 4 x \cdot \frac{6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.3

Combina $- 4 x$ y $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} - \frac{5 x}{6} + \frac{- 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{- 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.5

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x^{2} \cdot \frac{6}{6} + \frac{- 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6}{6} + \frac{- 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 3.8

Para escribir $\frac{10}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10}{3} \cdot \frac{2}{2} = 0$

Paso 3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.9.1

Multiplica $\frac{10}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10 \cdot 2}{3 \cdot 2} = 0$

Paso 3.9.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6}{6} + \frac{10 \cdot 2}{6} = 0$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 6 - 5 x - 4 x \cdot 6 + 10 \cdot 2}{6} = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Mueve $6$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot x^{2} - 5 x - 4 x \cdot 6 + 10 \cdot 2}{6} = 0$

Paso 4.2

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x - 24 x + 10 \cdot 2}{6} = 0$

Paso 4.3

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} - 5 x - 24 x + 20}{6} = 0$

Paso 4.4

Resta $24 x$ de $- 5 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6} = 0$

Paso 4.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 20 = 120$ y cuya suma es $b = - 29$ .

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Paso 4.5.1.1

Factoriza $- 29$ de $- 29 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6} = 0$

Paso 4.5.1.2

Reescribe $- 29$ como $- 5$ más $- 24$

$\frac{6 x^{2} + (- 5 - 24) x + 20}{6} = 0$

Paso 4.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x^{2} - 5 x - 24 x + 20}{6} = 0$

Paso 4.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(6 x^{2} - 5 x) - 24 x + 20}{6} = 0$

Paso 4.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (6 x - 5) - 4 (6 x - 5)}{6} = 0$

Paso 4.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $6 x - 5$ .

$\frac{(6 x - 5) (x - 4)}{6} = 0$

Paso 5

Expande $(6 x - 5) (x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x (x - 4) - 5 (x - 4)}{6} = 0$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x \cdot x + 6 x \cdot - 4 - 5 (x - 4)}{6} = 0$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 x \cdot x + 6 x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 x \cdot - 4 - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4$ por $6$ .

$\frac{6 x^{2} - 24 x - 5 x - 5 \cdot - 4}{6} = 0$

Paso 6.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 4$ .

$\frac{6 x^{2} - 24 x - 5 x + 20}{6} = 0$

Paso 6.2

Resta $5 x$ de $- 24 x$ .

$\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6} = 0$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{6 x^{2} - 29 x + 20}{6}$ en dos fracciones.

$\frac{6 x^{2} - 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Paso 8

Divide la fracción $\frac{6 x^{2} - 29 x}{6}$ en dos fracciones.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Paso 9

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x^{2}}{6} + \frac{- 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Paso 9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{20}{6} = 0$

Paso 11

Cancela el factor común de $20$ y $6$ .

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $20$ .

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{2 (10)}{6} = 0$

Paso 11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 3} = 0$

Paso 11.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 3} = 0$

Paso 11.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{10}{3} = 0$

Paso 12

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${4, \frac{5}{6}}$ es $y = x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{10}{3}$ .

$y = x^{2} - \frac{29 x}{6} + \frac{10}{3}$

Paso 13