Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{2}$ , $\frac{1}{4}$

Paso 1

$x = \frac{3}{2}$ y $x = \frac{1}{4}$ son las dos soluciones reales distintas para la ecuación cuadrática, lo que significa que $x - \frac{3}{2}$ y $x - \frac{1}{4}$ son los factores de la ecuación cuadrática.

$(x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{4}) = 0$

Paso 2

Expande $(x - \frac{3}{2}) (x - \frac{1}{4})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{4}) = 0$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{1}{4}) = 0$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x (- \frac{1}{4}) - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Paso 3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Paso 3.1.3

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Paso 3.1.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 \cdot x}{2} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{1}{4}) = 0$

Paso 3.1.5

Multiplica $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{4})$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + 1 (\frac{3}{2}) \cdot \frac{1}{4} = 0$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = 0$

Paso 3.1.5.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2 \cdot 4} = 0$

Paso 3.1.5.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.2

Para escribir $- \frac{3 x}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $4$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.1

Multiplica $\frac{3 x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{4} - \frac{3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.5

Para escribir $x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.6

Combina $x^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{4} + \frac{- x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.8

Para escribir $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.9.1

Multiplica $\frac{x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.9.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 3.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{2} \cdot 4 - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Mueve $4$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{(4 \cdot x^{2} - x - 3 x \cdot 2) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$\frac{(4 x^{2} - x - 6 x) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Paso 4.2

Resta $6 x$ de $- x$ .

$\frac{(4 x^{2} - 7 x) \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} \cdot 2 - 7 x \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Paso 4.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 7 x \cdot 2 + 3}{8} = 0$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $- 7$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Paso 4.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ y cuya suma es $b = - 14$ .

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Paso 4.6.1.1

Factoriza $- 14$ de $- 14 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Paso 4.6.1.2

Reescribe $- 14$ como $- 2$ más $- 12$

$\frac{8 x^{2} + (- 2 - 12) x + 3}{8} = 0$

Paso 4.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{8 x^{2} - 2 x - 12 x + 3}{8} = 0$

Paso 4.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(8 x^{2} - 2 x) - 12 x + 3}{8} = 0$

Paso 4.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (4 x - 1) - 3 (4 x - 1)}{8} = 0$

Paso 4.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x - 3)}{8} = 0$

Paso 5

Expande $(4 x - 1) (2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x - 3) - 1 (2 x - 3)}{8} = 0$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x - 3)}{8} = 0$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot (2 x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 \cdot (2 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6.1.3

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6.1.4

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 2 x - 1 \cdot - 3}{8} = 0$

Paso 6.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} - 12 x - 2 x + 3}{8} = 0$

Paso 6.2

Resta $2 x$ de $- 12 x$ .

$\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8} = 0$

Paso 7

Divide la fracción $\frac{8 x^{2} - 14 x + 3}{8}$ en dos fracciones.

$\frac{8 x^{2} - 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 8

Divide la fracción $\frac{8 x^{2} - 14 x}{8}$ en dos fracciones.

$\frac{8 x^{2}}{8} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 9

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 x^{2}}{8} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 9.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{- 14 x}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 10

Cancela el factor común de $- 14$ y $8$ .

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Paso 10.1

Factoriza $2$ de $- 14 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{8} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{2 (4)} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 10.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 (- 7 x)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 10.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{- 7 x}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8} = 0$

Paso 12

La ecuación cuadrática estándar en función del conjunto dado de soluciones ${\frac{3}{2}, \frac{1}{4}}$ es $y = x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8}$ .

$y = x^{2} - \frac{7 x}{4} + \frac{3}{8}$

Paso 13