Álgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}} = 3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ .

$3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$

Paso 2

Divide cada término en $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ por $3 x^{2} y$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}) = \sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ por $3 x^{2} y$ .

$\frac{3 x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{3 x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{3 x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{x^{2} y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \sqrt[3]{6 y^{d}}}{y} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.2.3.2

Divide $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.1.1

Reescribe $162 x^{c} y^{5}$ como ${(3 y)}^{3} \cdot (6 x^{c} y^{2})$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Factoriza $27$ de $162$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{27 (6) x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.2

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 x^{c} y^{5}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.3

Factoriza $y^{3}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 x^{c} (y^{3} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.4

Mueve $x^{c}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 6 y^{3} x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.5

Mueve $6$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{3^{3} y^{3} \cdot 6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.6

Reescribe $3^{3} y^{3}$ como ${(3 y)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot 6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.7

Agrega paréntesis.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot 6 (x^{c} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.1.8

Agrega paréntesis.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{{(3 y)}^{3} \cdot (6 x^{c} y^{2})}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{3 y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{3 y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{3 x^{2} y}$

Paso 2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2} y}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{y \sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2} y}$

Paso 2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2}}$

Paso 2.3.2.3

Reordena los factores en $\frac{\sqrt[3]{6 x^{c} y^{2}}}{x^{2}}$ .

$\sqrt[3]{6 y^{d}} = \frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}}$

Paso 3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{6 y^{d}}}^{3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ como ${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica ${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(6 y^{d})}^{1} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica.

$6 y^{d} = {(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Simplifica ${(\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}})}^{3}$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}{x^{2}}$ .

$6 y^{d} = \frac{{\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe ${\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}}^{3}$ como $6 y^{2} x^{c}$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{6 y^{2} x^{c}}$ como ${(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3}}$ .

$6 y^{d} = \frac{{({(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{3}{3}}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{\frac{3}{3}}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$6 y^{d} = \frac{{(6 y^{2} x^{c})}^{1}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.2.5

Simplifica.

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{{(x^{2})}^{3}}$

Paso 4.3.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 4.3.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{x^{2 \cdot 3}}$

Paso 4.3.1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c}}{x^{6}}$

Paso 4.3.1.4

Cancela el factor común de $x^{c}$ y $x^{6}$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Factoriza $x^{6}$ de $6 y^{2} x^{c}$ .

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6}}$

Paso 4.3.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.1.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6} \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$6 y^{d} = \frac{x^{6} (6 y^{2} x^{c - 6})}{x^{6} \cdot 1}$

Paso 4.3.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$6 y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{1}$

Paso 4.3.1.4.2.4

Divide $6 y^{2} x^{c - 6}$ por $1$ .

$6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$

Paso 5

Resuelve $d$

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Paso 5.1

Divide cada término en $6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$ por $6$ y simplifica.

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Paso 5.1.1

Divide cada término en $6 y^{d} = 6 y^{2} x^{c - 6}$ por $6$ .

$\frac{6 y^{d}}{6} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 y^{d}}{6} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Paso 5.1.2.1.2

Divide $y^{d}$ por $1$ .

$y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Paso 5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.3.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$y^{d} = \frac{6 y^{2} x^{c - 6}}{6}$

Paso 5.1.3.1.2

Divide $y^{2} x^{c - 6}$ por $1$ .

$y^{d} = y^{2} x^{c - 6}$

Paso 5.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (y^{d}) = \ln (y^{2} x^{c - 6})$

Paso 5.3

Expande $\ln (y^{d})$ ; para ello, mueve $d$ fuera del logaritmo.

$d \ln (y) = \ln (y^{2} x^{c - 6})$

Paso 5.4

Expande el lado derecho.

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Paso 5.4.1

Reescribe $\ln (y^{2} x^{c - 6})$ como $\ln (y^{2}) + \ln (x^{c - 6})$ .

$d \ln (y) = \ln (y^{2}) + \ln (x^{c - 6})$

Paso 5.4.2

Expande $\ln (y^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + \ln (x^{c - 6})$

Paso 5.4.3

Expande $\ln (x^{c - 6})$ ; para ello, mueve $c - 6$ fuera del logaritmo.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + (c - 6) \ln (x)$

Paso 5.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$

Paso 5.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$d \ln (y) - 2 \ln (y) - c \ln (x) + 6 \ln (x) = 0$

Paso 5.7

Mueve todos los términos que no contengan $d$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.7.1

Suma $2 \ln (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$d \ln (y) - c \ln (x) + 6 \ln (x) = 2 \ln (y)$

Paso 5.7.2

Suma $c \ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$d \ln (y) + 6 \ln (x) = 2 \ln (y) + c \ln (x)$

Paso 5.7.3

Resta $6 \ln (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$

Paso 5.8

Divide cada término en $d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$ por $\ln (y)$ y simplifica.

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Paso 5.8.1

Divide cada término en $d \ln (y) = 2 \ln (y) + c \ln (x) - 6 \ln (x)$ por $\ln (y)$ .

$\frac{d \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Paso 5.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.8.2.1

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 5.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Paso 5.8.2.1.2

Divide $d$ por $1$ .

$d = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Paso 5.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.8.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 5.8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \ln (y)}{\ln (y)} + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Paso 5.8.3.1.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2 + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} + \frac{- 6 \ln (x)}{\ln (y)}$

Paso 5.8.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d = 2 + \frac{c \ln (x)}{\ln (y)} - \frac{6 \ln (x)}{\ln (y)}$