Álgebra Ejemplos

$\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}} = \frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x} = \sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}}$ .

$\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x} = \sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (\frac{5 y^{c} \sqrt{2 y}}{d x})$ como $\ln (5 y^{c} \sqrt{2 y}) - \ln (d x)$ .

$\ln (5 y^{c} \sqrt{2 y}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y}$ como ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (5 y^{c} {(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (5 y^{c} {(2 y)}^{\frac{1}{2}})$ como $\ln (5 y^{c}) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (5 y^{c}) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (5 y^{c})$ como $\ln (5) + \ln (y^{c})$ .

$\ln (5) + \ln (y^{c}) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.5

Expande $\ln (y^{c})$ ; para ello, mueve $c$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + c \ln (y) + \ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}}) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.6

Expande $\ln ({(2 y)}^{\frac{1}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{1}{2}$ fuera del logaritmo.

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} \ln (2 y) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (2 y)$ como $\ln (2) + \ln (y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (y)) - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (d x)$ como $\ln (d) + \ln (x)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (y)) - (\ln (d) + \ln (x)) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1

Simplifica $\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} (\ln (2) + \ln (y)) - (\ln (d) + \ln (x))$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{1}{2} \ln (2 y) - (\ln (d) + \ln (x)) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 4.1.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (2 y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} - (\ln (d) + \ln (x)) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 4.1.1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (5) + c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (d x) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$

Paso 5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1

Simplifica $\ln (\sqrt{\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}})$ .

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Paso 5.1.1

Reduce la expresión $\frac{50 x^{6} y^{3}}{9 x^{8}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1.1.1

Factoriza $x^{6}$ de $50 x^{6} y^{3}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{x^{6} (50 y^{3})}{9 x^{8}}})$

Paso 5.1.1.2

Factoriza $x^{6}$ de $9 x^{8}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{x^{6} (50 y^{3})}{x^{6} (9 x^{2})}})$

Paso 5.1.1.3

Cancela el factor común.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{x^{6} (50 y^{3})}{x^{6} (9 x^{2})}})$

Paso 5.1.1.4

Reescribe la expresión.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{50 y^{3}}{9 x^{2}}})$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{50 y^{3}}{9 x^{2}}$ como ${(\frac{5 y}{3 x})}^{2} (2 y)$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza la potencia perfecta ${(5 y)}^{2}$ de $50 y^{3}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{{(5 y)}^{2} \cdot (2 y)}{9 x^{2}}})$

Paso 5.1.2.2

Factoriza la potencia perfecta ${(3 x)}^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{\frac{{(5 y)}^{2} \cdot (2 y)}{{(3 x)}^{2} \cdot 1}})$

Paso 5.1.2.3

Reorganiza la fracción $\frac{{(5 y)}^{2} \cdot (2 y)}{{(3 x)}^{2} \cdot 1}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\sqrt{{(\frac{5 y}{3 x})}^{2} (2 y)})$

Paso 5.1.3

Retira los términos de abajo del radical.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\frac{5 y}{3 x} \sqrt{2 y})$

Paso 5.1.4

Combina $\frac{5 y}{3 x}$ y $\sqrt{2 y}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) = \ln (\frac{5 y \sqrt{2 y}}{3 x})$

Paso 6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x}) - \ln (\frac{5 y \sqrt{2 y}}{3 x}) = 0$

Paso 7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{\frac{5}{d x}}{\frac{5 y \sqrt{2 y}}{3 x}}) = 0$

Paso 8

Simplifica cada término.

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Paso 8.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x} \cdot \frac{3 x}{5 y \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $5$ de $5 y \sqrt{2 y}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x} \cdot \frac{3 x}{5 (y \sqrt{2 y})}) = 0$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{5}{d x} \cdot \frac{3 x}{5 (y \sqrt{2 y})}) = 0$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{d x} \cdot \frac{3 x}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $x$ de $d x$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{x d} \cdot \frac{3 x}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.3.2

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{x d} \cdot \frac{x \cdot 3}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{x d} \cdot \frac{x \cdot 3}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.3.4

Reescribe la expresión.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{1}{d} \cdot \frac{3}{y \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.4

Multiplica $\frac{1}{d}$ por $\frac{3}{y \sqrt{2 y}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3}{d (y \sqrt{2 y})}) = 0$

Paso 8.5

Multiplica $\frac{3}{d y \sqrt{2 y}}$ por $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3}{d y \sqrt{2 y}} \cdot \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.6

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.6.1

Multiplica $\frac{3}{d y \sqrt{2 y}}$ por $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{2 y}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y \sqrt{2 y} \sqrt{2 y}}) = 0$

Paso 8.6.2

Mueve $\sqrt{2 y}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (\sqrt{2 y} \sqrt{2 y})}) = 0$

Paso 8.6.3

Eleva $\sqrt{2 y}$ a la potencia de $1$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (\sqrt{2 y} \sqrt{2 y})}) = 0$

Paso 8.6.4

Eleva $\sqrt{2 y}$ a la potencia de $1$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (\sqrt{2 y} \sqrt{2 y})}) = 0$

Paso 8.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {\sqrt{2 y}}^{1 + 1}}) = 0$

Paso 8.6.6

Suma $1$ y $1$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {\sqrt{2 y}}^{2}}) = 0$

Paso 8.6.7

Reescribe ${\sqrt{2 y}}^{2}$ como $2 y$ .

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Paso 8.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 y}$ como ${(2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {({(2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}) = 0$

Paso 8.6.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {(2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) = 0$

Paso 8.6.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {(2 y)}^{\frac{2}{2}}}) = 0$

Paso 8.6.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.6.7.4.1

Cancela el factor común.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y {(2 y)}^{\frac{2}{2}}}) = 0$

Paso 8.6.7.4.2

Reescribe la expresión.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (2 y)}) = 0$

Paso 8.6.7.5

Simplifica.

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y (2 y)}) = 0$

Paso 8.7

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 8.7.1

Mueve $y$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d (y \cdot y) \cdot 2}) = 0$

Paso 8.7.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{d y^{2} \cdot 2}) = 0$

Paso 8.8

Mueve $2$ a la izquierda de $d y^{2}$ .

$c \ln (y) + \frac{\ln (2 y)}{2} + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}}) = 0$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $c$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Resta $\frac{\ln (2 y)}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$c \ln (y) + \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}}) = - \frac{\ln (2 y)}{2}$

Paso 9.2

Resta $\ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$ de ambos lados de la ecuación.

$c \ln (y) = - \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$

Paso 10

Divide cada término en $c \ln (y) = - \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$ por $\ln (y)$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $c \ln (y) = - \frac{\ln (2 y)}{2} - \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})$ por $\ln (y)$ .

$\frac{c \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- \frac{\ln (2 y)}{2}}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $\ln (y)$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{c \ln (y)}{\ln (y)} = \frac{- \frac{\ln (2 y)}{2}}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Paso 10.2.1.2

Divide $c$ por $1$ .

$c = \frac{- \frac{\ln (2 y)}{2}}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$c = - \frac{\ln (2 y)}{2} \cdot \frac{1}{\ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Paso 10.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{\ln (y)}$ por $\frac{\ln (2 y)}{2}$ .

$c = - \frac{\ln (2 y)}{\ln (y) \cdot 2} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Paso 10.3.1.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (y)$ .

$c = - \frac{\ln (2 y)}{2 \cdot \ln (y)} + \frac{- \ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$

Paso 10.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$c = - \frac{\ln (2 y)}{2 \ln (y)} - \frac{\ln (\frac{3 \sqrt{2 y}}{2 d y^{2}})}{\ln (y)}$