Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{3} \log_{4} (x)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y) = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y)) = 3 x$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica $3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (y))$ .

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Paso 3.3.1.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\log_{4} (y)$ .

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\log_{4} (y)}{3} = 3 x$

Paso 3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{4} (y) = 3 x$

Paso 3.4

Reescribe $\log_{4} (y) = 3 x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{3 x} = y$

Paso 3.5

Reescribe la ecuación como $y = 4^{3 x}$ .

$y = 4^{3 x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x))}$

Paso 5.2.3

Simplifica $\frac{1}{3} \log_{4} (x)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})}$

Paso 5.2.4

Simplifica $3 \log_{4} (x^{\frac{1}{3}})$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = 4^{\log_{4} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{3})}$

Paso 5.2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Paso 5.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 5.2.6.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.6.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Paso 5.2.6.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (4^{3 x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (4^{3 x})$

Paso 5.3.3

Usa las reglas de logaritmos para mover $3 x$ fuera del exponente.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \log_{4} (4))$

Paso 5.3.4

El logaritmo en base $4$ de $4$ es $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x \cdot 1)$

Paso 5.3.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (4^{3 x}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (4^{3 x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{3} \cdot \log_{4} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{3 x}$