Álgebra Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{\cos (x)}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{\cos (x)})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) - x^{2} (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.4

Multiplica.

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Paso 3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + 1 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) (2 x) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.1.2

Reordena los factores en $2 \cos (x) x + x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.2

Factoriza $x$ de $2 x \cos (x) + x^{2} \sin (x)$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $x$ de $2 x \cos (x)$ .

$\frac{x (2 \cos (x)) + x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{x (2 \cos (x)) + x (x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $x$ de $x (2 \cos (x)) + x (x \sin (x))$ .

$\frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \cos (x) + x \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$