Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} \leq \frac{6}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Resuelve $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ .

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} - 3 x + 2$ .

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} - 3 x + 2$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{2} - 3 x + 2} (x^{2} - 3 x + 2) = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Paso 1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 = \frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica $\frac{6}{x^{2} - 4} (x^{2} - 3 x + 2)$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$2 = \frac{6}{x^{2} - 2^{2}} (x^{2} - 3 x + 2)$

Paso 1.2.2.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$2 = \frac{6}{(x + 2) (x - 2)} (x^{2} - 3 x + 2)$

Paso 1.2.2.1.2

Multiplica $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ por $x^{2} - 3 x + 2$ .

$2 = \frac{6 (x^{2} - 3 x + 2)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.2.1.3

Factoriza $x^{2} - 3 x + 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.2.1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 1.2.2.1.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$2 = \frac{6 ((x - 2) (x - 1))}{(x + 2) (x - 2)}$

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.2.1.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 1.2.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$2 = \frac{6 (x - 2) (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.2.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$2 = \frac{6 (x - 1)}{x + 2}$

Paso 1.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$

Paso 1.3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x + 2, 1$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$x + 2, 1$

Paso 1.3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x + 2$

Paso 1.3.3

Multiplica cada término en $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ por $x + 2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{6 (x - 1)}{x + 2} = 2$ por $x + 2$ .

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Paso 1.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x - 1)}{x + 2} (x + 2) = 2 (x + 2)$

Paso 1.3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$6 (x - 1) = 2 (x + 2)$

Paso 1.3.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x + 6 \cdot - 1 = 2 (x + 2)$

Paso 1.3.3.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$6 x - 6 = 2 (x + 2)$

Paso 1.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x - 6 = 2 x + 2 \cdot 2$

Paso 1.3.3.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 x - 6 = 2 x + 4$

Paso 1.3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.4.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x - 6 - 2 x = 4$

Paso 1.3.4.1.2

Resta $2 x$ de $6 x$ .

$4 x - 6 = 4$

Paso 1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.4.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 4 + 6$

Paso 1.3.4.2.2

Suma $4$ y $6$ .

$4 x = 10$

Paso 1.3.4.3

Divide cada término en $4 x = 10$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.4.3.1

Divide cada término en $4 x = 10$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Paso 1.3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{10}{4}$

Paso 1.3.4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{10}{4}$

Paso 1.3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $10$ y $4$ .

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Paso 1.3.4.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = \frac{2 (5)}{4}$

Paso 1.3.4.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.4.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.4.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Paso 1.3.4.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{5}{2}$

Paso 1.4

Obtén el dominio de $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)} - \frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ .

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Paso 1.4.1

Establece el denominador en $\frac{2}{(x - 2) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 2) (x - 1) = 0$

Paso 1.4.2

Resuelve $x$

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Paso 1.4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 1.4.2.2

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.4.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.4.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 2, 1$

Paso 1.4.3

Establece el denominador en $\frac{6}{(x + 2) (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 1.4.4

Resuelve $x$

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Paso 1.4.4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.4.4.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.4.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 1.4.4.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.4.4.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.4.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.4.4.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.4.4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 1.4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 1.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$2 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Paso 1.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{{(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 2} \leq \frac{6}{{(- 4)}^{2} - 4}$

Paso 1.6.1.3

$0.0\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 2} \leq \frac{6}{{(0)}^{2} - 4}$

Paso 1.6.2.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $- 1.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 1.5$

Paso 1.6.3.2

Reemplaza $x$ con $1.5$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{{(1.5)}^{2} - 3 \cdot 1.5 + 2} \leq \frac{6}{{(1.5)}^{2} - 4}$

Paso 1.6.3.3

$- 8$ del lado izquierdo es menor que $- 3.\overline{428571}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.25$

Paso 1.6.4.2

Reemplaza $x$ con $2.25$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{{(2.25)}^{2} - 3 \cdot 2.25 + 2} \leq \frac{6}{{(2.25)}^{2} - 4}$

Paso 1.6.4.3

$6.4$ del lado izquierdo es mayor que $5.64705882$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.5

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{5}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{5}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 1.6.5.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 + 2} \leq \frac{6}{{(5)}^{2} - 4}$

Paso 1.6.5.3

$0.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{285714}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 1$ Falso

$1 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < \frac{5}{2}$ Falso

$x > \frac{5}{2}$ Verdadero

Paso 1.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 2$ o $1 < x < 2$ o $x \geq \frac{5}{2}$

Paso 2

Usa la desigualdad $x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}$ para crear la notación de conjunto.

${x | x < - 2 or 1 < x < 2 or x \geq \frac{5}{2}}$

Paso 3