Álgebra Ejemplos

${(1 - 2 x)}^{n}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{n}$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{n}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = n$ .

$f' (x) = n u^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x)$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.2.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} (- 2 \cdot 1)$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = n {(1 - 2 x)}^{n - 1} \cdot - 2$

Paso 1.2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ .

$f' (x) = - 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 2 n$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 n {(1 - 2 x)}^{n - 1}$ con respecto a $x$ es $- 2 n \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 1}]$ .

$f'' (x) = - 2 n \frac{d}{d x} {(1 - 2 x)}^{n - 1}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{n - 1}$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n (\frac{d}{d u} (u^{n - 1}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = n - 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) u^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 1 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Resta $1$ de $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Paso 2.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 2.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} (\frac{d}{d x} (x)))$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2} \cdot 1)$

Paso 2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.8.1

Multiplica $n - 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$

Paso 2.3.8.2

Reordena los factores de $4 n ((n - 1) {(1 - 2 x)}^{n - 2})$ .

$f'' (x) = 4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $4 n (n - 1)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 n {(1 - 2 x)}^{n - 2} (n - 1)$ con respecto a $x$ es $4 n (n - 1) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 2}]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 2})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{n - 2}$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) (\frac{d}{d u} (u^{n - 2}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = n - 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) u^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 2 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Resta $1$ de $- 2$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Paso 3.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 3.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 4 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Paso 3.3.6

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} (\frac{d}{d x} (x)))$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3} \cdot 1)$

Paso 3.3.8

Multiplica $n - 2$ por $1$ .

$f''' (x) = - 8 n (n - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = (- 8 n \cdot n - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 3.4.2.2

Eleva $n$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = (- 8 (n \cdot n) - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 3.4.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = (- 8 n^{1 + 1} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 3.4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} - 8 n \cdot - 1) ((n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 3.4.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$f''' (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$

Paso 3.4.3

Reordena los factores de $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) {(1 - 2 x)}^{n - 3}$ .

$f''' (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de ${(1 - 2 x)}^{n - 3} (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$ con respecto a $x$ es $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{n - 3}]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) \frac{d}{d x} ({(1 - 2 x)}^{n - 3})$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{n - 3}$ y $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (\frac{d}{d u} (u^{n - 3}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = n - 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) u^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - 2 x$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 3 - 1} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (1 - 2 x))$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Paso 4.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x)))$

Paso 4.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 4.3.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 \cdot 1))$

Paso 4.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4} \cdot - 2)$

Paso 4.3.7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $(n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) (- 2 \cdot ((n - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4}))$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n - 2 \cdot - 3) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

Paso 4.4.2

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$f^{4} (x) = (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$

Paso 4.4.3

Reordena los factores de $(- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2) ((- 2 n + 6) {(1 - 2 x)}^{n - 4})$ .

$f^{4} (x) = {(1 - 2 x)}^{n - 4} (- 2 n + 6) (- 8 n^{2} + 8 n) (n - 2)$