Álgebra Ejemplos

$f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}] + \frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{0.5 x}) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{0.5 x}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 0.5 x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $0.5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $0.5 x$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \frac{d}{d x} (0.5 x) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2.2

Como $0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0.5 x$ con respecto a $x$ es $0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} (0.5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $0.5$ por $1$ .

$f' (x) = e^{0.5 x} \cdot 0.5 + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.2.5

Mueve $0.5$ a la izquierda de $e^{0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + \frac{d}{d x} (64 e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [64 e^{- 0.5 x}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 e^{- 0.5 x}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [e^{- 0.5 x}]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 \frac{d}{d x} (e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 0.5 x$ .

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Paso 1.1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Paso 1.1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Paso 1.1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 0.5 x$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \frac{d}{d x} (- 0.5 x))$

Paso 1.1.3.3

Como $- 0.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 0.5 x$ con respecto a $x$ es $- 0.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \frac{d}{d x} x))$

Paso 1.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} (- 0.5 \cdot 1))$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 0.5$ por $1$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (e^{- 0.5 x} \cdot - 0.5)$

Paso 1.1.3.6

Mueve $- 0.5$ a la izquierda de $e^{- 0.5 x}$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} + 64 (- 0.5 \cdot e^{- 0.5 x})$

Paso 1.1.3.7

Multiplica $- 0.5$ por $64$ .

$f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x} = 0$

Paso 2.2

Mueve $- 32 e^{- 0.5 x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$0.5 e^{0.5 x} = 32 e^{- 0.5 x}$

Paso 2.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (0.5 e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Paso 2.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Reescribe $\ln (0.5 e^{0.5 x})$ como $\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + \ln (e^{0.5 x}) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Paso 2.4.2

Expande $\ln (e^{0.5 x})$ ; para ello, mueve $0.5 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (0.5) + 0.5 x \ln (e) = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Paso 2.4.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x \cdot 1 = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Paso 2.4.4

Multiplica $0.5$ por $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32 e^{- 0.5 x})$

Paso 2.5

Expande el lado derecho.

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Paso 2.5.1

Reescribe $\ln (32 e^{- 0.5 x})$ como $\ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) + \ln (e^{- 0.5 x})$

Paso 2.5.2

Expande $\ln (e^{- 0.5 x})$ ; para ello, mueve $- 0.5 x$ fuera del logaritmo.

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \ln (e)$

Paso 2.5.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x \cdot 1$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 0.5$ por $1$ .

$\ln (0.5) + 0.5 x = \ln (32) - 0.5 x$

Paso 2.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (0.5) - \ln (32) = - 0.5 x - 0.5 x$

Paso 2.7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{0.5}{32}) = - 0.5 x - 0.5 x$

Paso 2.8

Divide $0.5$ por $32$ .

$\ln (0.015625) = - 0.5 x - 0.5 x$

Paso 2.9

Resta $0.5 x$ de $- 0.5 x$ .

$\ln (0.015625) = - 1 x$

Paso 2.10

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- 1 x = \ln (0.015625)$

Paso 2.11

Divide cada término en $- 1 x = \ln (0.015625)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.11.1

Divide cada término en $- 1 x = \ln (0.015625)$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.11.2.1

Cancela el factor común de $- 1$ .

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Paso 2.11.2.1.1

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) x}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.1.2

Factoriza $1$ de $- 1 (1) x$ .

$\frac{1 (- 1 \cdot 1 x)}{- 1} = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.1.3

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 1 \cdot 1 x}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.2.2.1

Reescribe $- 1 \cdot (- 1 \cdot 1 x)$ como $- (- 1 \cdot 1 x)$ .

$- (- 1 \cdot 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- (- 1 x) = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$- - x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 2.11.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.2.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (0.015625)}{- 1}$

Paso 2.11.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.11.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{\ln (0.015625)}{1}$

Paso 2.11.3.2

Divide $\ln (0.015625)$ por $1$ .

$x = - \ln (0.015625)$

Paso 3

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $- \ln (0.015625)$ .

$- \ln (0.015625)$

Paso 4

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = 0.5 e^{0.5 x} - 32 e^{- 0.5 x}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = e^{0.5 x} + 64 e^{- 0.5 x}$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$ .

$(- \infty, - \ln (0.015625)) \cup (- \ln (0.015625), \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \ln (0.015625))$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $3.15888308$ en la expresión.

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{0.5 (3.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $0.5$ por $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 0.5 e^{1.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $0.5$ por $e^{1.57944154}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 0.5 \cdot 3.15888308}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 0.5$ por $3.15888308$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 e^{- 1.57944154}$

Paso 5.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 32 \frac{1}{e^{1.57944154}}$

Paso 5.2.1.5

Combina $- 32$ y $\frac{1}{e^{1.57944154}}$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 + \frac{- 32}{e^{1.57944154}}$

Paso 5.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{e^{1.57944154}}$

Paso 5.2.1.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{{2.71828182}^{1.57944154}}$

Paso 5.2.1.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $1.57944154$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - \frac{32}{4.85224527}$

Paso 5.2.1.9

Divide $32$ por $4.85224527$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 1 \cdot 6.59488508$

Paso 5.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $6.59488508$ .

$f' (3.15888308) = 2.42612263 - 6.59488508$

Paso 5.2.2

Resta $6.59488508$ de $2.42612263$ .

$f' (3.15888308) = - 4.16876244$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 4.16876244$ .

$- 4.16876244$

Paso 5.3

En $x = 3.15888308$ la derivada es $- 4.16876244$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \ln (0.015625))$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \ln (0.015625))$ desde $f' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \ln (0.015625), \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $5.15888308$ en la expresión.

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{0.5 (5.15888308)} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $0.5$ por $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 0.5 e^{2.57944154} - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $0.5$ por $e^{2.57944154}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 0.5 \cdot 5.15888308}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 0.5$ por $5.15888308$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 e^{- 2.57944154}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 32 \frac{1}{e^{2.57944154}}$

Paso 6.2.1.5

Combina $- 32$ y $\frac{1}{e^{2.57944154}}$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 + \frac{- 32}{e^{2.57944154}}$

Paso 6.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{e^{2.57944154}}$

Paso 6.2.1.7

Reemplaza $e$ con una aproximación.

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{{2.71828182}^{2.57944154}}$

Paso 6.2.1.8

Eleva $2.71828182$ a la potencia de $2.57944154$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - \frac{32}{13.18977016}$

Paso 6.2.1.9

Divide $32$ por $13.18977016$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 1 \cdot 2.42612263$

Paso 6.2.1.10

Multiplica $- 1$ por $2.42612263$ .

$f' (5.15888308) = 6.59488508 - 2.42612263$

Paso 6.2.2

Resta $2.42612263$ de $6.59488508$ .

$f' (5.15888308) = 4.16876244$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $4.16876244$ .

$4.16876244$

Paso 6.3

En $x = 5.15888308$ la derivada es $4.16876244$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \ln (0.015625), \infty)$ .

Incremento en $(- \ln (0.015625), \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 7

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \ln (0.015625), \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \ln (0.015625))$

Paso 8