Álgebra Ejemplos

$\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[n]{x^{2 n + 1}}$ como $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x^{\frac{2 n + 1}{n}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d n} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = \frac{2 n + 1}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} - 1 \cdot \frac{n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Combina $- 1$ y $\frac{n}{n}$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1}{n} + \frac{- n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{2 n + 1 - n}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4.2.2

Resta $n$ de $2 n$ .

$\frac{d}{d n} [x] (\frac{2 n + 1}{n} x^{\frac{n + 1}{n}}) + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{2 n + 1}{n}$ y $x^{\frac{n + 1}{n}}$ .

$\frac{d}{d n} [x] \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4.3

Como $x$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $x$ con respecto a $n$ es $0$ .

$0 \frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n} + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.4.1

Multiplica $0$ por $\frac{(2 n + 1) x^{\frac{n + 1}{n}}}{n}$ .

$0 + \frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 4.4.2

Suma $0$ y $\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d n} [\frac{2 n + 1}{n}] (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 5

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ es $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ donde $f (n) = 2 n + 1$ y $g (n) = n$ .

$\frac{n \frac{d}{d n} [2 n + 1] - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6

Diferencia.

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Paso 6.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 n + 1$ con respecto a $n$ es $\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]$ .

$\frac{n (\frac{d}{d n} [2 n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.2

Como $2$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $2 n$ con respecto a $n$ es $2 \frac{d}{d n} [n]$ .

$\frac{n (2 \frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{n (2 \cdot 1 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{n (2 + \frac{d}{d n} [1]) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.5

Como $1$ es constante con respecto a $n$ , la derivada de $1$ con respecto a $n$ es $0$ .

$\frac{n (2 + 0) - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.6

Simplifica la expresión.

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Paso 6.6.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{n \cdot 2 - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $n$ .

$\frac{2 \cdot n - (2 n + 1) \frac{d}{d n} [n]}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ es $n \cdot n^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1) \cdot 1}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.8

Combina fracciones.

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Paso 6.8.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}} (x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x))$

Paso 6.8.2

Combina $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ y $\frac{2 n - (2 n + 1)}{n^{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}} \ln (x)$

Paso 6.8.3

Combina $\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1))}{n^{2}}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n + 1)) \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - (2 n) - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1 \cdot 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (2 n - 2 n - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.2.2

Resta $2 n$ de $2 n$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} (0 - 1) \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.2.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \cdot - 1 \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.2.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- 1 \cdot x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.2.5

Reescribe $- 1 x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ como $- x^{\frac{2 n + 1}{n}}$ .

$\frac{- x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{\frac{2 n + 1}{n}} \ln (x)}{n^{2}}$