Álgebra Ejemplos

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$

Paso 1

Simplifica $2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$ .

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Paso 1.1

Reescribe.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 0 + 0 + 2 (x + k) (x - k) (3 x + 2)$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x + 2 k) (x - k) (3 x + 2)$

Paso 1.3

Expande $(2 x + 2 k) (x - k)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x (x - k) + 2 k (x - k)) (3 x + 2)$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x \cdot x + 2 x (- k) + 2 k (x - k)) (3 x + 2)$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x \cdot x + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Paso 1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 (x \cdot x) + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 2 x (- k) + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x k + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 k (- k)) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 k \cdot k) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.5

Multiplica $k$ por $k$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.1.5.1

Mueve $k$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 (k \cdot k)) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.5.2

Multiplica $k$ por $k$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x + 2 \cdot - 1 k^{2}) (3 x + 2)$

Paso 1.4.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 x k + 2 k x - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Paso 1.4.2

Suma $- 2 x k$ y $2 k x$ .

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Paso 1.4.2.1

Mueve $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 k x + 2 k x - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Paso 1.4.2.2

Suma $- 2 k x$ y $2 k x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} + 0 - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Paso 1.4.3

Suma $2 x^{2}$ y $0$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = (2 x^{2} - 2 k^{2}) (3 x + 2)$

Paso 1.5

Expande $(2 x^{2} - 2 k^{2}) (3 x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x + 2) - 2 k^{2} (3 x + 2)$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x + 2)$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 x^{2} (3 x) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.2.1

Mueve $x$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 1.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 2 \cdot 3 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 2 - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 k^{2} (3 x) - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 2 \cdot 3 k^{2} x - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.6

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 2 k^{2} \cdot 2$

Paso 1.6.7

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 = 6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Paso 2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Resta $6 x^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} = 4 x^{2} - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Paso 2.2

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} = - 6 k^{2} x - 4 k^{2}$

Paso 2.3

Suma $6 k^{2} x$ a ambos lados de la ecuación.

$6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Paso 2.4

Combina los términos opuestos en $6 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x - 4 - 6 x^{3} - 4 x^{2} + 6 k^{2} x$ .

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Paso 2.4.1

Resta $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$4 x^{2} - 6 x - 4 + 0 - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Paso 2.4.2

Suma $4 x^{2} - 6 x - 4$ y $0$ .

$4 x^{2} - 6 x - 4 - 4 x^{2} + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Paso 2.4.3

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$- 6 x - 4 + 0 + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Paso 2.4.4

Suma $- 6 x - 4$ y $0$ .

$- 6 x - 4 + 6 k^{2} x = - 4 k^{2}$

Paso 3

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$- 6 x + 6 k^{2} x = - 4 k^{2} + 4$

Paso 4

Factoriza $6 x$ de $- 6 x + 6 k^{2} x$ .

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Paso 4.1

Factoriza $6 x$ de $- 6 x$ .

$6 x (- 1) + 6 k^{2} x = - 4 k^{2} + 4$

Paso 4.2

Factoriza $6 x$ de $6 k^{2} x$ .

$6 x (- 1) + 6 x (k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Paso 4.3

Factoriza $6 x$ de $6 x (- 1) + 6 x (k^{2})$ .

$6 x (- 1 + k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Paso 5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$6 x (- 1^{2} + k^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Paso 6

Reordena $- 1^{2}$ y $k^{2}$ .

$6 x (k^{2} - 1^{2}) = - 4 k^{2} + 4$

Paso 7

Factoriza.

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Paso 7.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = k$ y $b = 1$ .

$6 x ((k + 1) (k - 1)) = - 4 k^{2} + 4$

Paso 7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$

Paso 8

Divide cada término en $6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$ por $6 (k + 1) (k - 1)$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $6 x (k + 1) (k - 1) = - 4 k^{2} + 4$ por $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$\frac{6 x (k + 1) (k - 1)}{6 (k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x (k + 1) (k - 1)}{6 (k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x (k + 1)) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $k + 1$ .

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (k + 1) (k - 1)}{(k + 1) (k - 1)} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x) (k - 1)}{k - 1} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.2.3

Cancela el factor común de $k - 1$ .

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Paso 8.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (k - 1)}{k - 1} = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.2.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 k^{2}}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $6$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 4 k^{2}$ .

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{6 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{2 (3 (k + 1) (k - 1))} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 (- 2 k^{2})}{2 (3 (k + 1) (k - 1))} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{- 2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{(2) k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{4}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $6$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 (2)}{6 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 8.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $6 (k + 1) (k - 1)$ .

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 (2)}{2 (3 (k + 1) (k - 1))}$

Paso 8.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2 \cdot 2}{2 (3 (k + 1) (k - 1))}$

Paso 8.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2}{3 (k + 1) (k - 1)}$

Paso 9

Para reescribir como una función de $k$ , escribe la ecuación para que $x$ quede por sí sola a un lado del signo igual y una expresión que solo involucra $k$ quede al otro lado.

$f (k) = - \frac{2 k^{2}}{3 (k + 1) (k - 1)} + \frac{2}{3 (k + 1) (k - 1)}$