Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 3}{y (z + 5)}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 3$ y $g (x) = y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{y (z + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Paso 2.3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y (z + 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [y (z + 5)]}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Paso 2.5

Como $y (z + 5)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y (z + 5)$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{{(y (z + 5))}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la regla del producto a $y (z + 5)$ .

$\frac{y (z + 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(y z + y \cdot 5) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - (x + 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 3) \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{y z \cdot 1 + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.1.1

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{y z + y \cdot 5 \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{y z + 5 \cdot y \cdot 1 - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.1.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{y z + 5 y - x \cdot 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.1.4

Multiplica $- x \cdot 0$ .

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Paso 3.6.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 x - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.1.4.2

Multiplica $0$ por $x$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 1 \cdot 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.1.5

Multiplica $- 1 \cdot 3 \cdot 0$ .

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Paso 3.6.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 - 3 \cdot 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.1.5.2

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0 + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.2

Combina los términos opuestos en $y z + 5 y + 0 + 0$ .

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Paso 3.6.2.1

Suma $y z + 5 y$ y $0$ .

$\frac{y z + 5 y + 0}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.6.2.2

Suma $y z + 5 y$ y $0$ .

$\frac{y z + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $y$ de $y z + 5 y$ .

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Paso 3.7.1

Factoriza $y$ de $y z$ .

$\frac{y (z) + 5 y}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.7.2

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$\frac{y (z) + y \cdot 5}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.7.3

Factoriza $y$ de $y (z) + y \cdot 5$ .

$\frac{y (z + 5)}{y^{2} {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.8

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.8.1

Factoriza $y$ de $y^{2} {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Paso 3.8.2

Cancela el factor común.

$\frac{y (z + 5)}{y (y {(z + 5)}^{2})}$

Paso 3.8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{z + 5}{y {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.9

Cancela el factor común de $z + 5$ y ${(z + 5)}^{2}$ .

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Paso 3.9.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{y {(z + 5)}^{2}}$

Paso 3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.1

Factoriza $z + 5$ de $y {(z + 5)}^{2}$ .

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Paso 3.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(z + 5) \cdot 1}{(z + 5) (y (z + 5))}$

Paso 3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y (z + 5)}$