Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 13 x^{2} + 36$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 2$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

Paso 4.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$16 - 13 \cdot 4 + 36$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 13$ por $4$ .

$16 - 52 + 36$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $52$ de $16$ .

$- 36 + 36$

Paso 4.2.2

Suma $- 36$ y $36$ .

$0$

Paso 5

Como $2$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 2$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 13 x^{2} + 36}{x - 2}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$
	$1$	$2$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 13)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$- 9$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 9)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 18)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 18)$ por el divisor $(2)$ y coloca el resultado de $(- 36)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(36)$ .

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$2$	$1$	$0$	$- 13$	$0$	$36$
		$2$	$4$	$- 18$	$- 36$
	$1$	$2$	$- 9$	$- 18$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 9) x - 18$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 2) (x^{3} + 2 x^{2}) - 9 x - 18$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 2) + x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

$(x - 2) x^{2} (x + 2) - 9 (x + 2)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 2$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 9)$

Paso 9

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 2) (x + 2) (x^{2} - 3^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$(x - 2) + (x + 2) ((x + 3) (x - 3))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 2) + (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

$(x - 2) (x + 2) (x + 3) (x - 3)$

Paso 11

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} - 13 u + 36 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 12

Factoriza $u^{2} - 13 u + 36$ con el método AC.

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Paso 12.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $36$ y cuya suma es $- 13$ .

$- 9, - 4$

Paso 12.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u - 4) = 0$

Paso 13

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 4 = 0$

Paso 14

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 14.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Paso 14.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

Paso 15

Establece $u - 4$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 15.1

Establece $u - 4$ igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Paso 15.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 4$

Paso 16

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 9) (u - 4) = 0$ verdadera.

$u = 9, 4$

Paso 17

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 18

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 9$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 19.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 19.2

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 19.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 19.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 19.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 19.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 19.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 19.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 20

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Paso 21

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 21.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = 4$

Paso 21.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 21.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 21.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 21.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 21.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 21.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 21.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 21.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 22

La solución a $x^{4} - 13 x^{2} + 36 = 0$ es $x = 3, - 3, 2, - 2$ .

$x = 3, - 3, 2, - 2$

Paso 23