Álgebra Ejemplos

$e^{x} + e^{- 2 x}$

Paso 1

Escribe $e^{x} + e^{- 2 x}$ como una función.

$f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$

Paso 2

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Paso 2.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$e^{x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Paso 2.3.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Paso 3

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} - 2 e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- 2 x})$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 2 x}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- 2 x}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

Paso 3.3.3

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Paso 3.3.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Paso 3.3.7

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = e^{x} + 4 e^{- 2 x}$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$f'' (x) = 4 e^{- 2 x} + e^{x}$

Paso 4

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Paso 5

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 5.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

Paso 5.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

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Paso 5.1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 5.1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 5.1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 5.1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 5.1.3.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Paso 5.1.3.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

Paso 5.1.3.5

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Paso 5.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $e^{x} - 2 e^{- 2 x}$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x}$

Paso 6

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$ .

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Paso 6.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$e^{x} - 2 e^{- 2 x} = 0$

Paso 6.2

Mueve $- 2 e^{- 2 x}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma en ambos lados.

$e^{x} = 2 e^{- 2 x}$

Paso 6.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- 2 x})$

Paso 6.4

Expande el lado izquierdo.

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Paso 6.4.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2 e^{- 2 x})$

Paso 6.4.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2 e^{- 2 x})$

Paso 6.4.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (2 e^{- 2 x})$

Paso 6.5

Expande el lado derecho.

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Paso 6.5.1

Reescribe $\ln (2 e^{- 2 x})$ como $\ln (2) + \ln (e^{- 2 x})$ .

$x = \ln (2) + \ln (e^{- 2 x})$

Paso 6.5.2

Expande $\ln (e^{- 2 x})$ ; para ello, mueve $- 2 x$ fuera del logaritmo.

$x = \ln (2) - 2 x \ln (e)$

Paso 6.5.3

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x = \ln (2) - 2 x \cdot 1$

Paso 6.5.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$x = \ln (2) - 2 x$

Paso 6.6

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.6.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 2 x = \ln (2)$

Paso 6.6.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$3 x = \ln (2)$

Paso 6.7

Divide cada término en $3 x = \ln (2)$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.7.1

Divide cada término en $3 x = \ln (2)$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3}$

Paso 6.7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.7.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\ln (2)}{3}$

Paso 6.7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{3}$

Paso 7

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 7.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 8

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\ln (2)}{3}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\ln (2)}{3}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$4 e^{- 2 \frac{\ln (2)}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10

Simplifica cada término.

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Paso 10.1

Reescribe $\frac{\ln (2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$4 e^{- 2 (\frac{1}{3} \ln (2))} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$4 e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.3

Simplifica $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$4 e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2})} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$4 {(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.5

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 10.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.5.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$4 \cdot 2^{\frac{- 2}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$4 \cdot 2^{- \frac{2}{3}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \cdot \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.7

Combina $4$ y $\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{\ln (2)}{3}}$

Paso 10.8

Reescribe $\frac{\ln (2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\frac{1}{3} \ln (2)}$

Paso 10.9

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Paso 10.10

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Paso 11

$x = \frac{\ln (2)}{3}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{\ln (2)}{3}$ es un mínimo local

Paso 12

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\ln (2)}{3}$ .

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Paso 12.1

Simplify $\frac{\ln (2)}{3}$ to substitute in $f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$ .

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Paso 12.1.1

Reescribe $\frac{\ln (2)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot \ln (2)$

Paso 12.1.2

Simplifica $\frac{1}{3} \ln (2)$ al mover $\frac{1}{3}$ dentro del algoritmo.

$y = \ln (2^{\frac{1}{3}})$

Paso 12.2

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ en la expresión.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Paso 12.3

Simplifica el resultado.

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Paso 12.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.3.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Paso 12.3.1.2

Simplifica $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ al mover $- 2$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + e^{\ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2})}$

Paso 12.3.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + {(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$

Paso 12.3.1.4

Multiplica los exponentes en ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.1.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{3} \cdot - 2}$

Paso 12.3.1.4.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 2$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{- 2}{3}}$

Paso 12.3.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + 2^{- \frac{2}{3}}$

Paso 12.3.1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\ln (2^{\frac{1}{3}})) = 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 12.3.2

La respuesta final es $2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$

Paso 13

Estos son los extremos locales de $f (x) = e^{x} + e^{- 2 x}$ .

$(\frac{\ln (2)}{3}, 2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}})$ es un mínimo local

Paso 14