Álgebra Ejemplos

$y = - x^{2} + 6 x$ $4 y = 21 - x$

Paso 1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- x^{2} + 6 x$ en cada ecuación.

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Paso 1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $4 y = 21 - x$ por $- x^{2} + 6 x$ .

$4 (- x^{2} + 6 x) = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Simplifica $4 (- x^{2} + 6 x)$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (- x^{2}) + 4 (6 x) = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 1.2.1.2

Multiplica.

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Paso 1.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$- 4 x^{2} + 4 (6 x) = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 1.2.1.2.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2

Resuelve $x$ en $- 4 x^{2} + 24 x = 21 - x$ .

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Paso 2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{2} + 24 x + x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.1.2

Suma $24 x$ y $x$ .

$- 4 x^{2} + 25 x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- 4 x^{2} + 25 x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.2

Resta $21$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 x^{2} + 25 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2} + 25 x - 21$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 25 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.1.2

Factoriza $- 1$ de $25 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 25 x) - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.1.3

Reescribe $- 21$ como $- 1 (21)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 25 x) - 1 \cdot 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (- 25 x)$ .

$- (4 x^{2} - 25 x) - 1 \cdot 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} - 25 x) - 1 (21)$ .

$- (4 x^{2} - 25 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (4 x^{2} - 25 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2

Factoriza.

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Paso 2.3.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 21 = 84$ y cuya suma es $b = - 25$ .

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Paso 2.3.2.1.1.1

Factoriza $- 25$ de $- 25 x$ .

$- (4 x^{2} - 25 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2.1.1.2

Reescribe $- 25$ como $- 4$ más $- 21$

$- (4 x^{2} + (- 4 - 21) x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (4 x^{2} - 4 x - 21 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (4 x^{2} - 4 x - 21 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((4 x^{2} - 4 x) - 21 x + 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (4 x (x - 1) - 21 (x - 1)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (4 x (x - 1) - 21 (x - 1)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$- ((x - 1) (4 x - 21)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- ((x - 1) (4 x - 21)) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.3.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 1) (4 x - 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (x - 1) (4 x - 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

$- (x - 1) (4 x - 21) = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$4 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = 1$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.6

Establece $4 x - 21$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $4 x - 21$ igual a $0$ .

$4 x - 21 = 0$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.6.2

Resuelve $4 x - 21 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.6.2.1

Suma $21$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 21$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.6.2.2

Divide cada término en $4 x = 21$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.6.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 21$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.6.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.6.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.6.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 1) (4 x - 21) = 0$ verdadera.

$x = 1, \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

$x = 1, \frac{21}{4}$

$y = - x^{2} + 6 x$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - x^{2} + 6 x$ por $1$ .

$y = - {(1)}^{2} + 6 (1)$

$x = 1$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- {(1)}^{2} + 6 (1)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = - 1 \cdot 1 + 6 (1)$

$x = 1$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = - 1 + 6 (1)$

$x = 1$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$y = - 1 + 6$

$x = 1$

$y = - 1 + 6$

$x = 1$

Paso 3.2.1.2

Suma $- 1$ y $6$ .

$y = 5$

$x = 1$

$y = 5$

$x = 1$

$y = 5$

$x = 1$

$y = 5$

$x = 1$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{21}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = - x^{2} + 6 x$ por $\frac{21}{4}$ .

$y = - {(\frac{21}{4})}^{2} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $- {(\frac{21}{4})}^{2} + 6 (\frac{21}{4})$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{21}{4}$ .

$y = - \frac{21^{2}}{4^{2}} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.2

Eleva $21$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{441}{4^{2}} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = - \frac{441}{16} + 6 (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y = - \frac{441}{16} + 2 (3) (\frac{21}{4})$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = - \frac{441}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{21}{2 \cdot 2}))$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{441}{16} + 2 \cdot (3 (\frac{21}{2 \cdot 2}))$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{441}{16} + 3 (\frac{21}{2})$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - \frac{441}{16} + 3 (\frac{21}{2})$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.5

Combina $3$ y $\frac{21}{2}$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{3 \cdot 21}{2}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.1.6

Multiplica $3$ por $21$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63}{2}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63}{2}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.2

Para escribir $\frac{63}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63}{2} \cdot \frac{8}{8}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $\frac{63}{2}$ por $\frac{8}{8}$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63 \cdot 8}{2 \cdot 8}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63 \cdot 8}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = - \frac{441}{16} + \frac{63 \cdot 8}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 441 + 63 \cdot 8}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.5.1

Multiplica $63$ por $8$ .

$y = \frac{- 441 + 504}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 4.2.1.5.2

Suma $- 441$ y $504$ .

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

$y = \frac{63}{16}$

$x = \frac{21}{4}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 5)$

$(\frac{21}{4}, \frac{63}{16})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(1, 5), (\frac{21}{4}, \frac{63}{16})$

Forma de la ecuación:

$x = 1, y = 5$

$x = \frac{21}{4}, y = \frac{63}{16}$

Paso 7