Álgebra Ejemplos

$2 \sqrt{2} (\cos (135) + i \sin (135))$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$2 \sqrt{2} (- \cos (45) + i \sin (135))$

Paso 1.2

El valor exacto de $\cos (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (135))$

Paso 1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \sin (45))$

Paso 1.4

El valor exacto de $\sin (45)$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 1.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{i \sqrt{2}}{2})$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$2 (\sqrt{2}) \frac{- \sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.3

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} \frac{- \sqrt{2}}{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.2.4

Reescribe la expresión.

$\sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 4

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + 2 (\sqrt{2}) \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.2

Cancela el factor común.

$- {\sqrt{2}}^{2} + 2 \sqrt{2} \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Paso 7.3

Reescribe la expresión.

$- {\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} (i \sqrt{2})$

Paso 8

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2} i$

Paso 9

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1} i$

Paso 10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1} i$

Paso 11

Suma $1$ y $1$ .

$- {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12

Simplifica cada término.

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Paso 12.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 12.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.1.4.1

Cancela el factor común.

$- 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.1.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2^{1} + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.1.5

Evalúa el exponente.

$- 1 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 + {\sqrt{2}}^{2} i$

Paso 12.3

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 12.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i$

Paso 12.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i$

Paso 12.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 + 2^{\frac{2}{2}} i$

Paso 12.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 + 2^{\frac{2}{2}} i$

Paso 12.3.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 + 2^{1} i$

Paso 12.3.5

Evalúa el exponente.

$- 2 + 2 i$