Álgebra Ejemplos

$f (y) = \frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}$ , $g (y) = \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 1

Reemplaza los designadores de función con las funciones reales en $f (y) \cdot (g (y))$ .

$(\frac{2 y^{3} - y^{2} + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1}) \cdot (\frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 y^{3} - y^{2}) + 2 y - 1}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y^{2} (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{3} - y^{2} + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y^{3} - y^{2}) + y - 1} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{y^{2} (y - 1) + 1 (y - 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.3.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 y$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 3 (y) + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1$ más $- 2$

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} + (- 1 - 2) y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{2 y^{2} - 1 y - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y^{2} - 1 y) - 2 y + 1}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{y (2 y - 1) - (2 y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y - 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{4 y^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 2.4.1

Reescribe $4 y^{2}$ como ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1}$

Paso 2.4.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 4 y + 1^{2}}$

Paso 2.4.3

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 y = 2 \cdot (2 y) \cdot 1$

Paso 2.4.4

Reescribe el polinomio.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y)}^{2} - 2 \cdot (2 y) \cdot 1 + 1^{2}}$

Paso 2.4.5

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = 2 y$ y $b = 1$ .

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1)}{(y - 1) (y^{2} + 1)} \cdot \frac{(2 y - 1) (y - 1)}{{(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 2.5

Simplifica los términos.

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Paso 2.5.1

Combinar.

$\frac{(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común de $2 y - 1$ y ${(2 y - 1)}^{2}$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $2 y - 1$ de $(2 y - 1) (y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}}$

Paso 2.5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.2.2.1

Factoriza $2 y - 1$ de $(y - 1) (y^{2} + 1) {(2 y - 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Paso 2.5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y - 1) ((y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1)))}{(2 y - 1) ((y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1))}$

Paso 2.5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Paso 2.5.3

Cancela el factor común de $y^{2} + 1$ .

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Paso 2.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(y^{2} + 1) ((2 y - 1) (y - 1))}{(y - 1) (y^{2} + 1) (2 y - 1)}$

Paso 2.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Paso 2.5.4

Cancela el factor común de $2 y - 1$ .

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Paso 2.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(2 y - 1) (y - 1)}{(y - 1) (2 y - 1)}$

Paso 2.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Paso 2.5.5

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 2.5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{y - 1}{y - 1}$

Paso 2.5.5.2

Reescribe la expresión.

$1$