Álgebra Ejemplos

$y = \sqrt[3]{x} + 1$ ; $[0, 1]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\sqrt[3]{x} + 1 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\sqrt[3]{x} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[3]{x} = - 1$

Paso 1.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Simplifica.

$x = {(- 1)}^{3}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$x = - 1$

Paso 1.3

Sustituye $- 1$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 1, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $\sqrt[3]{x} + 1$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} + 1 d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x + \int_{0}^{1} d x$

Paso 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x + \int_{0}^{1} d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} d x$

Paso 3.6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1} + x]_{0}^{1}$

Paso 3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.7.1

Combina $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1}$ y $x]_{0}^{1}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x]_{0}^{1}$

Paso 3.7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.7.2.1

Evalúa $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + x$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} + 1) - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2

Simplifica.

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Paso 3.7.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{3}{4} \cdot 1 + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4} + 1 - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{3}{4} + \frac{4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 + 4}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2.5

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2.6

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} + 0)$

Paso 3.7.2.2.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Paso 3.7.2.2.8

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.7.2.2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} + 0)$

Paso 3.7.2.2.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0^{4} + 0)$

Paso 3.7.2.2.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{7}{4} - (\frac{3}{4} \cdot 0 + 0)$

Paso 3.7.2.2.10

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $0$ .

$\frac{7}{4} - (0 + 0)$

Paso 3.7.2.2.11

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{7}{4} - 0$

Paso 3.7.2.2.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{7}{4} + 0$

Paso 3.7.2.2.13

Suma $\frac{7}{4}$ y $0$ .

$\frac{7}{4}$

Paso 4