Álgebra Ejemplos

$(- 3, \frac{343}{64})$

Paso 1

Para obtener una función exponencial, $f (x) = a^{x}$ , que contenga el punto, establece $f (x)$ en la función al valor $y$ $\frac{343}{64}$ del punto, y establece $x$ al valor $x$ $- 3$ del punto.

$\frac{343}{64} = a^{- 3}$

Paso 2

Resuelve la ecuación en $a$ .

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $a^{- 3} = \frac{343}{64}$ .

$a^{- 3} = \frac{343}{64}$

Paso 2.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$a^{3}, 64$

Paso 2.3.2

Since $a^{3}, 64$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 64$ then find LCM for the variable part $a^{3}$ .

Paso 2.3.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.3.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.3.5

Los factores primos para $64$ son $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.3.5.1

$64$ tiene factores de $2$ y $32$ .

$2 \cdot 32$

Paso 2.3.5.2

$32$ tiene factores de $2$ y $16$ .

$2 \cdot 2 \cdot 16$

Paso 2.3.5.3

$16$ tiene factores de $2$ y $8$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 8$

Paso 2.3.5.4

$8$ tiene factores de $2$ y $4$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

Paso 2.3.5.5

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.3.6

Multiplica $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.3.6.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.3.6.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$16 \cdot 2 \cdot 2$

Paso 2.3.6.4

Multiplica $16$ por $2$ .

$32 \cdot 2$

Paso 2.3.6.5

Multiplica $32$ por $2$ .

$64$

Paso 2.3.7

Los factores para $a^{3}$ son $a \cdot a \cdot a$ , que es $a$ multiplicada una por la otra $3$ veces.

$a^{3} = a \cdot a \cdot a$

$a$ ocurre $3$ veces.

Paso 2.3.8

El MCM de $a^{3}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$a \cdot a \cdot a$

Paso 2.3.9

Simplifica $a \cdot a \cdot a$ .

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Paso 2.3.9.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$a^{2} \cdot a$

Paso 2.3.9.2

Multiplica $a^{2}$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.9.2.1

Multiplica $a^{2}$ por $a$ .

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Paso 2.3.9.2.1.1

Eleva $a$ a la potencia de $1$ .

$a^{2} \cdot a^{1}$

Paso 2.3.9.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{2 + 1}$

Paso 2.3.9.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$a^{3}$

Paso 2.3.10

El MCM para $a^{3}, 64$ es la parte numérica $64$ multiplicada por la parte variable.

$64 a^{3}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ por $64 a^{3}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{a^{3}} = \frac{343}{64}$ por $64 a^{3}$ .

$\frac{1}{a^{3}} (64 a^{3}) = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$64 \frac{1}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Paso 2.4.2.2

Combina $64$ y $\frac{1}{a^{3}}$ .

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Paso 2.4.2.3

Cancela el factor común de $a^{3}$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{64}{a^{3}} a^{3} = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Paso 2.4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Paso 2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.3.1

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 2.4.3.1.1

Factoriza $64$ de $64 a^{3}$ .

$64 = \frac{343}{64} (64 (a^{3}))$

Paso 2.4.3.1.2

Cancela el factor común.

$64 = \frac{343}{64} (64 a^{3})$

Paso 2.4.3.1.3

Reescribe la expresión.

$64 = 343 a^{3}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $343 a^{3} = 64$ .

$343 a^{3} = 64$

Paso 2.5.2

Resta $64$ de ambos lados de la ecuación.

$343 a^{3} - 64 = 0$

Paso 2.5.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.5.3.1

Reescribe $343 a^{3}$ como ${(7 a)}^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 64 = 0$

Paso 2.5.3.2

Reescribe $64$ como $4^{3}$ .

${(7 a)}^{3} - 4^{3} = 0$

Paso 2.5.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 7 a$ y $b = 4$ .

$(7 a - 4) ({(7 a)}^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4

Simplifica.

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Paso 2.5.3.4.1

Aplica la regla del producto a $7 a$ .

$(7 a - 4) (7^{2} a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 7 a \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4.3

Multiplica $4$ por $7$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 4^{2}) = 0$

Paso 2.5.3.4.4

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$

Paso 2.5.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 a - 4 = 0$

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Paso 2.5.5

Establece $7 a - 4$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 2.5.5.1

Establece $7 a - 4$ igual a $0$ .

$7 a - 4 = 0$

Paso 2.5.5.2

Resuelve $7 a - 4 = 0$ en $a$ .

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Paso 2.5.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$7 a = 4$

Paso 2.5.5.2.2

Divide cada término en $7 a = 4$ por $7$ y simplifica.

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Paso 2.5.5.2.2.1

Divide cada término en $7 a = 4$ por $7$ .

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Paso 2.5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 a}{7} = \frac{4}{7}$

Paso 2.5.5.2.2.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{4}{7}$

Paso 2.5.6

Establece $49 a^{2} + 28 a + 16$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 2.5.6.1

Establece $49 a^{2} + 28 a + 16$ igual a $0$ .

$49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$

Paso 2.5.6.2

Resuelve $49 a^{2} + 28 a + 16 = 0$ en $a$ .

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Paso 2.5.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.6.2.2

Sustituye los valores $a = 49$ , $b = 28$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $a$ .

$\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot (49 \cdot 16)}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.3.1.1

Eleva $28$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Paso 2.5.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 196$ por $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.3

Resta $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.4

Reescribe $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.7

Reescribe $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.6.2.3.1.7.1

Factoriza $784$ de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.7.2

Reescribe $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.1.9

Mueve $28$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Paso 2.5.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.4.1.1

Eleva $28$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 196$ por $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.3

Resta $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.4

Reescribe $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.7

Reescribe $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.6.2.4.1.7.1

Factoriza $784$ de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.7.2

Reescribe $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.1.9

Mueve $28$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Paso 2.5.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$a = \frac{- 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.4.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (- 2 i \sqrt{3})}{7}$

Paso 2.5.6.2.4.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (- 2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 - 2 i \sqrt{3})}{7}$

Paso 2.5.6.2.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.6.2.5.1.1

Eleva $28$ a la potencia de $2$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 4 \cdot 49 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 49 \cdot 16$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 196 \cdot 16}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 196$ por $16$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{784 - 3136}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.3

Resta $3136$ de $784$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.4

Reescribe $- 2352$ como $- 1 (2352)$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (2352)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}$ .

$a = \frac{- 28 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{2352}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.7

Reescribe $2352$ como $28^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.6.2.5.1.7.1

Factoriza $784$ de $2352$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{784 (3)}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.7.2

Reescribe $784$ como $28^{2}$ .

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot \sqrt{28^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$a = \frac{- 28 \pm i \cdot (28 \sqrt{3})}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.1.9

Mueve $28$ a la izquierda de $i$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{2 \cdot 49}$

Paso 2.5.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $49$ .

$a = \frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$

Paso 2.5.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 28 \pm 28 i \sqrt{3}}{98}$ .

$a = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$a = \frac{- 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.5.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 i \sqrt{3}$ .

$a = \frac{- 1 \cdot 2 - (2 i \sqrt{3})}{7}$

Paso 2.5.6.2.5.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (2 i \sqrt{3})$ .

$a = \frac{- 1 (2 + 2 i \sqrt{3})}{7}$

Paso 2.5.6.2.5.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$a = - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.5.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 a - 4) (49 a^{2} + 28 a + 16) = 0$ verdadera.

$a = \frac{4}{7}, - \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}, - \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$

Paso 2.6

Elimina todos los valores que contienen componentes imaginarios.

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Paso 2.6.1

No hay componentes imaginarios. Suma $\frac{4}{7}$ a la respuesta final.

$\frac{4}{7}$ es un número real

Paso 2.6.2

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ a la respuesta final.

$- \frac{2 - 2 i \sqrt{3}}{7}$ no es un número real

Paso 2.6.3

La letra $i$ representa un componente imaginario y no es un número real. No sumes $- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ a la respuesta final.

$- \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{7}$ no es un número real

Paso 2.6.4

La respuesta final es la lista de los valores que no contienen componentes imaginarios.

$a = \frac{4}{7}$

Paso 3

Sustituye cada valor por $a$ de nuevo en la función $f (x) = a^{x}$ para obtener todas las funciones exponenciales posibles.

$f (x) = {(\frac{4}{7})}^{x}$