Álgebra Ejemplos

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} = 15$

Paso 1

Multiplica ambos lados por $R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}$ .

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}) = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}) = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$

Paso 2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1

Simplifica $15 (R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}})$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1} + 15 (2 \sqrt{R_{1}})$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $2$ por $15$ .

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1} + 30 \sqrt{R_{1}}$

Paso 3

Resuelve $R_{1}$

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Paso 3.1

Resuelve $\sqrt{R_{1}}$

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Paso 3.1.1

Resta $30 \sqrt{R_{1}}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 R_{1} \sqrt{R_{1}} - 30 \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1}$

Paso 3.1.2

Factoriza $2 \sqrt{R_{1}}$ de $2 R_{1} \sqrt{R_{1}} - 30 \sqrt{R_{1}}$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $2 \sqrt{R_{1}}$ de $2 R_{1} \sqrt{R_{1}}$ .

$2 \sqrt{R_{1}} R_{1} - 30 \sqrt{R_{1}} = 15 R_{1}$

Paso 3.1.2.2

Factoriza $2 \sqrt{R_{1}}$ de $- 30 \sqrt{R_{1}}$ .

$2 \sqrt{R_{1}} R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}} \cdot - 15 = 15 R_{1}$

Paso 3.1.2.3

Factoriza $2 \sqrt{R_{1}}$ de $2 \sqrt{R_{1}} R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}} \cdot - 15$ .

$2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$

Paso 3.1.3

Divide cada término en $2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$ por $2 (R_{1} - 15)$ y simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Divide cada término en $2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15) = 15 R_{1}$ por $2 (R_{1} - 15)$ .

$\frac{2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{2 (R_{1} - 15)} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Paso 3.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{2 (R_{1} - 15)} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Paso 3.1.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{R_{1} - 15} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Paso 3.1.3.2.2

Cancela el factor común de $R_{1} - 15$ .

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Paso 3.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{R_{1}} (R_{1} - 15)}{R_{1} - 15} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Paso 3.1.3.2.2.2

Divide $\sqrt{R_{1}}$ por $1$ .

$\sqrt{R_{1}} = \frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$

Paso 3.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{R_{1}}}^{2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{R_{1}}$ como ${R_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({R_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${R_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${R_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${R_{1}}^{1} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Simplifica.

$R_{1} = {(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica ${(\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)})}^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{15 R_{1}}{2 (R_{1} - 15)}$ .

$R_{1} = \frac{{(15 R_{1})}^{2}}{{(2 (R_{1} - 15))}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.2

Aplica la regla del producto a $15 R_{1}$ .

$R_{1} = \frac{15^{2} {R_{1}}^{2}}{{(2 (R_{1} - 15))}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 (R_{1} - 15)$ .

$R_{1} = \frac{15^{2} {R_{1}}^{2}}{2^{2} {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{2^{2} {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$

Paso 3.4

Resuelve $R_{1}$

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Paso 3.4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, 4 {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$4 {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.2

Multiplica cada término en $R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$ por $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica cada término en $R_{1} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}}$ por $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ .

$R_{1} (4 {(R_{1} - 15)}^{2}) = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} (4 {(R_{1} - 15)}^{2})$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} (4 {(R_{1} - 15)}^{2})$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.2.3.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.4.2.3.2.1

Factoriza $4$ de $4 {(R_{1} - 15)}^{2}$ .

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 4 \frac{225 {R_{1}}^{2}}{4 {(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{{(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.2.3.3

Cancela el factor común de ${(R_{1} - 15)}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = \frac{225 {R_{1}}^{2}}{{(R_{1} - 15)}^{2}} {(R_{1} - 15)}^{2}$

Paso 3.4.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} = 225 {R_{1}}^{2}$

Paso 3.4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Mueve todos los términos que contengan $R_{1}$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1.1

Resta $225 {R_{1}}^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$4 R_{1} {(R_{1} - 15)}^{2} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.1

Reescribe ${(R_{1} - 15)}^{2}$ como $(R_{1} - 15) (R_{1} - 15)$ .

$4 R_{1} ((R_{1} - 15) (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.2

Expande $(R_{1} - 15) (R_{1} - 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 R_{1} (R_{1} (R_{1} - 15) - 15 (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 R_{1} (R_{1} R_{1} + R_{1} \cdot - 15 - 15 (R_{1} - 15)) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 R_{1} (R_{1} R_{1} + R_{1} \cdot - 15 - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.3.1.1

Multiplica $R_{1}$ por $R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} + R_{1} \cdot - 15 - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.3.1.2

Mueve $- 15$ a la izquierda de $R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 15 \cdot R_{1} - 15 R_{1} - 15 \cdot - 15) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.3.1.3

Multiplica $- 15$ por $- 15$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 15 R_{1} - 15 R_{1} + 225) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.3.2

Resta $15 R_{1}$ de $- 15 R_{1}$ .

$4 R_{1} ({R_{1}}^{2} - 30 R_{1} + 225) - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$4 R_{1} {R_{1}}^{2} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.5

Simplifica.

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Paso 3.4.3.1.2.5.1

Multiplica $R_{1}$ por ${R_{1}}^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.1.2.5.1.1

Mueve ${R_{1}}^{2}$ .

$4 ({R_{1}}^{2} R_{1}) + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.5.1.2

Multiplica ${R_{1}}^{2}$ por $R_{1}$ .

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Paso 3.4.3.1.2.5.1.2.1

Eleva $R_{1}$ a la potencia de $1$ .

$4 ({R_{1}}^{2} {R_{1}}^{1}) + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.5.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 {R_{1}}^{2 + 1} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.5.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 R_{1} (- 30 R_{1}) + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 R_{1} R_{1} + 4 R_{1} \cdot 225 - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.5.3

Multiplica $225$ por $4$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 R_{1} R_{1} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.2.6.1

Multiplica $R_{1}$ por $R_{1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.1.2.6.1.1

Mueve $R_{1}$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 (R_{1} R_{1}) + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.6.1.2

Multiplica $R_{1}$ por $R_{1}$ .

$4 {R_{1}}^{3} + 4 \cdot - 30 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.2.6.2

Multiplica $4$ por $- 30$ .

$4 {R_{1}}^{3} - 120 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} - 225 {R_{1}}^{2} = 0$

Paso 3.4.3.1.3

Resta $225 {R_{1}}^{2}$ de $- 120 {R_{1}}^{2}$ .

$4 {R_{1}}^{3} - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} = 0$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $R_{1}$ de $4 {R_{1}}^{3} - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1}$ .

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Paso 3.4.3.2.1

Factoriza $R_{1}$ de $4 {R_{1}}^{3}$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) - 345 {R_{1}}^{2} + 900 R_{1} = 0$

Paso 3.4.3.2.2

Factoriza $R_{1}$ de $- 345 {R_{1}}^{2}$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1}) + 900 R_{1} = 0$

Paso 3.4.3.2.3

Factoriza $R_{1}$ de $900 R_{1}$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900 = 0$

Paso 3.4.3.2.4

Factoriza $R_{1}$ de $R_{1} (4 {R_{1}}^{2}) + R_{1} (- 345 R_{1})$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900 = 0$

Paso 3.4.3.2.5

Factoriza $R_{1}$ de $R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1}) + R_{1} \cdot 900$ .

$R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900) = 0$

Paso 3.4.3.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$R_{1} = 0$

$4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$

Paso 3.4.3.4

Establece $R_{1}$ igual a $0$ .

$R_{1} = 0$

Paso 3.4.3.5

Establece $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900$ igual a $0$ y resuelve $R_{1}$ .

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Paso 3.4.3.5.1

Establece $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900$ igual a $0$ .

$4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$

Paso 3.4.3.5.2

Resuelve $4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900 = 0$ en $R_{1}$ .

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Paso 3.4.3.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.3.5.2.2

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 345$ y $c = 900$ en la fórmula cuadrática y resuelve $R_{1}$ .

$\frac{345 \pm \sqrt{{(- 345)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 900)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3

Simplifica.

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Paso 3.4.3.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.3.5.2.3.1.1

Eleva $- 345$ a la potencia de $2$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 4 \cdot 4 \cdot 900}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 900$ .

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Paso 3.4.3.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 16 \cdot 900}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $900$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{119025 - 14400}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.1.3

Resta $14400$ de $119025$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{104625}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.1.4

Reescribe $104625$ como $15^{2} \cdot 465$ .

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Paso 3.4.3.5.2.3.1.4.1

Factoriza $225$ de $104625$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{225 (465)}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.1.4.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm \sqrt{15^{2} \cdot 465}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$R_{1} = \frac{345 \pm 15 \sqrt{465}}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.3.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$R_{1} = \frac{345 \pm 15 \sqrt{465}}{8}$

Paso 3.4.3.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}, \frac{345 - 15 \sqrt{465}}{8}$

Paso 3.4.3.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $R_{1} (4 {R_{1}}^{2} - 345 R_{1} + 900) = 0$ verdadera.

$R_{1} = 0, \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}, \frac{345 - 15 \sqrt{465}}{8}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\frac{2 R_{1} \sqrt{R_{1}}}{R_{1} + 2 \sqrt{R_{1}}} = 15$ sea verdadera.

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$R_{1} = \frac{345 + 15 \sqrt{465}}{8}$

Forma decimal:

$R_{1} = 83.55723497 \dots$